Encontre uma transformação linear T: R^2 R^2 tal que T(0,3)=(4,5) e T(1,1)=(4,6).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma transformação linear que transforma os vetores em e em . Vamos usar conceitos de transformações lineares e sistemas de equações para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma transformação linear. Uma transformação linear A = a & b c & d pode ser representada por uma matriz tal que . No caso de , a matriz será uma matriz :
onde são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Sabemos que A 0 3 = 4 5 , então podemos escrever:
a cdot 0 + b cdot 3 c cdot 0 + d cdot 3 = 4 5
Multiplicando a matriz pelo vetor:
3b = 4 e 3d = 5
Isso nos dá as equações:
b = 43 e d = 53
Resolvendo:

Passo 4

Agora, usamos a segunda condição: A 1 1 = 4 6 . Assim:
a cdot 1 + b cdot 1 c cdot 1 + d cdot 1 = 4 6
Multiplicando a matriz pelo vetor:
a + 43 = 4 e c + 53 = 6
Substituindo a = 4 - 43 = 83 e c = 6 - 53 = 133 e :
Resolvendo para e :

Resposta

A transformação linear A = 83 & 43 133 & 53 é representada pela matriz:

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