Use o método de Gauss para resolver o sistema abaixo.
x+z & =3 2 x+y+3 z & =2 3 x+y+5 z & =6

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver um sistema de equações usando o método de Gauss. Esse método é parte da álgebra linear e é super útil para resolver sistemas de equações lineares. Vamos precisar organizar as equações em uma matriz aumentada e fazer algumas manobras para chegar na solução.
O sistema que temos é:
x + z = 3 2x + y + 3z = 2 3x + y + 5z = 6

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema. Isso significa colocar os coeficientes das variáveis e os termos constantes em forma de matriz:
1 & 0 & 1 & | & 3 2 & 1 & 3 & | & 2 3 & 1 & 5 & | & 6
Aqui, cada linha representa uma equação e cada coluna representa uma variável (x, y, z), com a última coluna sendo os resultados.

Passo 3

O próximo passo é transformar essa matriz em uma forma triangular superior, onde abaixo da diagonal principal teremos zeros. Isso facilita a resolução das variáveis por substituição.
Vamos começar eliminando o 2 da posição (2,1), que é o coeficiente de x na segunda equação. Para isso, usamos a primeira linha (que já tem um 1 na posição x) e subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda linha:
Linha2 = Linha2 - 2 * Linha1
1 & 0 & 1 & | & 3 0 & 1 & 1 & | & -4 3 & 1 & 5 & | & 6

Passo 4

Agora, vamos eliminar o 3 da posição (3,1), que é o coeficiente de x na terceira equação. Assim como antes, vamos usar a primeira linha:
Linha3 = Linha3 - 3 * Linha1
1 & 0 & 1 & | & 3 0 & 1 & 1 & | & -4 0 & 1 & 2 & | & -3

Passo 5

Em seguida, vamos eliminar o 1 da posição (3,2), que é o coeficiente de y na terceira equação. Para isso, subtraímos a segunda linha da terceira linha:
Linha3 = Linha3 - Linha2
1 & 0 & 1 & | & 3 0 & 1 & 1 & | & -4 0 & 0 & 1 & | & 1

Passo 6

Agora que temos a matriz em forma triangular superior, podemos resolver as variáveis começando de baixo para cima.
A terceira linha nos dá:
z = 1

Passo 7

Usando o valor de z na segunda linha:
y + z = -4 y + 1 = -4 y = -5

Passo 8

Finalmente, usando os valores de y e z na primeira linha:
x + z = 3 x + 1 = 3 x = 2

Resposta

A solução do sistema é , e .

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