Encontre as funções seus domínios.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as funções compostas , , e , além dos domínios dessas funções. As funções que temos são:
Vamos usar conceitos de composição de funções e entender como determinar os domínios dessas novas funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar , que significa . Isso quer dizer que a gente vai substituir na função .
Agora, precisamos pensar no domínio dessa função. A expressão dentro da raiz quadrada, , tem que ser maior que zero porque não podemos tirar a raiz quadrada de um número negativo e também não podemos dividir por zero.
Então, resolvemos:
Fatorando:
Isso ocorre quando ou .
Portanto, o domínio de é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar , que é . Aqui, substituímos na função :
Simplificando:
Para determinar o domínio, observamos as restrições das funções internas. Em , temos que . Além disso, não pode haver divisão por zero, mas como a expressão já está definida para , o domínio de é:

Passo 4

Vamos encontrar , ou seja, :
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então:
Para o domínio, a expressão original de requer que . Além disso, ao aplicar novamente, precisamos que , o que já é verdade para . Portanto:

Passo 5

Por fim, vamos revisar novamente para garantir que não haja confusão, já que foi solicitado duas vezes no enunciado. Já calculamos:
Com domínio:

Resposta

As funções compostas e seus domínios são:
  1. com domínio
  2. com domínio
  3. com domínio
  4. já foi calculado acima.

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