Encontre as funções
e
;e seus domínios.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as funções compostas
,
,
e
, além dos respectivos domínios. As funções dadas são:
Vamos precisar entender como compor funções e determinar os domínios dessas novas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é composição de funções.
significa que a gente aplica a função
e depois a função
no resultado. Ou seja,
.
Passo 3
Vamos calcular
:
Então,
Simplificando o denominador:
Portanto,
Passo 4
Agora, vamos determinar o domínio de
. Precisamos que
esteja no domínio de
. O domínio de
é
pois não dá pra tirar raiz de números negativos. Além disso, para
existir, o denominador não pode ser zero:
Então, o domínio de
é
.
Passo 5
Vamos calcular
:
Então,
Podemos simplificar:
Então,
Passo 6
Para o domínio de
, precisamos que
esteja no domínio de
. O domínio de
é
. Além disso, dentro de
, temos uma raiz quadrada, então o argumento precisa ser não negativo:
Isso acontece quando
Então, o domínio de é
.
Então, o domínio de
Passo 7
Agora, vamos encontrar
:
Então,
Vamos simplificar o denominador:
Então,
Passo 8
Para o domínio de
, precisamos que o argumento de cada
esteja no domínio de
. Primeiro,
exige
. Depois,
exige que
:
Além disso, o denominador
não pode ser zero, o que já está coberto pela condição
.
Então, o domínio de é
tal que
e
.
Então, o domínio de
Passo 9
Vamos calcular
:
Então,
Passo 10
Para determinar o domínio de
, vamos garantir que todas as raízes quadradas sejam possíveis. Primeiro,
exige
. Depois, para
, temos
, então precisamos que:
Já que
e
, o domínio de
é
.
Resposta
As funções compostas e seus domínios são:
Exercícios relacionados
Encontre
e
, e estabeleça os domínios de:
- Seja
uma função que satisfaz . Calcule . Conclua que .
Seja
. Encontre uma função
tal que:
Encontre as outras medidas dos ângulos que faltam (seno, cosseno e tangente) se: