Encontre as funções f o g, g o f, f o f e g(g);e seus domínios.
f(x) = 1/(x - 1), g(x) = 1 - raiz(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as funções compostas , , e , além dos respectivos domínios. As funções dadas são:
Vamos precisar entender como compor funções e determinar os domínios dessas novas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é composição de funções. significa que a gente aplica a função e depois a função no resultado. Ou seja, .

Passo 3

Vamos calcular :
Então,
Simplificando o denominador:
Portanto,

Passo 4

Agora, vamos determinar o domínio de . Precisamos que esteja no domínio de . O domínio de é pois não dá pra tirar raiz de números negativos. Além disso, para existir, o denominador não pode ser zero:
Então, o domínio de é .

Passo 5

Vamos calcular :
Então,
Podemos simplificar:
Então,

Passo 6

Para o domínio de , precisamos que esteja no domínio de . O domínio de é . Além disso, dentro de , temos uma raiz quadrada, então o argumento precisa ser não negativo:
Isso acontece quando
Então, o domínio de é .

Passo 7

Agora, vamos encontrar :
Então,
Vamos simplificar o denominador:
Então,

Passo 8

Para o domínio de , precisamos que o argumento de cada esteja no domínio de . Primeiro, exige . Depois, exige que :
Além disso, o denominador não pode ser zero, o que já está coberto pela condição .
Então, o domínio de é tal que e .

Passo 9

Vamos calcular :
Então,

Passo 10

Para determinar o domínio de , vamos garantir que todas as raízes quadradas sejam possíveis. Primeiro, exige . Depois, para , temos , então precisamos que:
Já que e , o domínio de é .

Resposta

As funções compostas e seus domínios são:
íííí

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