Encontre as funções e ;e seus domínios.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrarmos as funções compostas , , e , além de identificar seus domínios. Estamos trabalhando com funções compostas, que é quando a gente aplica uma função dentro da outra. Para isso, vamos precisar saber como compor funções e verificar onde cada função está definida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é . Isso significa que vamos aplicar a função primeiro e depois aplicar a função no resultado de . Então, matematicamente, .

Passo 3

Vamos calcular . Sabemos que . Então, substituímos na função :
Simplificando a segunda parte:
Para simplificar essa expressão, vamos encontrar um denominador comum:
Expandindo os quadrados:

Passo 4

Agora, vamos encontrar o domínio de . O domínio de uma função composta é onde está definida e onde também está definida.
Primeiro, está definida para todos os exceto (pois o denominador não pode ser zero).
Depois, está definida para todos os exceto onde o denominador é zero, ou seja, e .
Então, o domínio de é todos os tais que e .

Passo 5

Vamos calcular , que significa aplicar primeiro e depois :
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos encontrar o domínio de . Primeiro, está definida para .
Depois, está definida quando o denominador .
Resolvendo :
Então, o domínio de é todos os tais que e .

Passo 7

Vamos encontrar , que é :
Simplificando a segunda parte:
Para combinar os termos, encontramos um denominador comum:
Simplificando:

Passo 8

O domínio de é onde está definida e onde também está definida.
Primeiro, está definida para .
Depois, está definida quando , ou seja, e .
Então, o domínio de é todos os tais que .

Passo 9

Por fim, vamos calcular :
Simplificando as frações:

Passo 10

Agora, vamos determinar o domínio de . Primeiro, está definido para .
Depois, está definida quando , ou seja, .
Então, o domínio de é todos os tais que e .

Resposta

As funções compostas e seus domínios são:
í
í
í
í

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