Encontre as funções
e
;e seus domínios.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrarmos as funções compostas
,
,
e
, além de identificar seus domínios. Estamos trabalhando com funções compostas, que é quando a gente aplica uma função dentro da outra. Para isso, vamos precisar saber como compor funções e verificar onde cada função está definida.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é
. Isso significa que vamos aplicar a função
primeiro e depois aplicar a função
no resultado de
. Então, matematicamente,
.
Passo 3
Vamos calcular
. Sabemos que
. Então, substituímos
na função
:
Simplificando a segunda parte:
Para simplificar essa expressão, vamos encontrar um denominador comum:
Expandindo os quadrados:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o domínio de
. O domínio de uma função composta é onde
está definida e onde
também está definida.
Primeiro,
está definida para todos os
exceto
(pois o denominador não pode ser zero).
Depois,
está definida para todos os
exceto onde o denominador é zero, ou seja,
e
.
Então, o domínio de
é todos os
tais que
e
.
Passo 5
Vamos calcular
, que significa aplicar
primeiro e depois
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos encontrar o domínio de
. Primeiro,
está definida para
.
Depois,
está definida quando o denominador
.
Resolvendo
:
Então, o domínio de
é todos os
tais que
e
.
Passo 7
Vamos encontrar
, que é
:
Simplificando a segunda parte:
Para combinar os termos, encontramos um denominador comum:
Simplificando:
Passo 8
O domínio de
é onde
está definida e onde
também está definida.
Primeiro,
está definida para
.
Depois,
está definida quando
, ou seja,
e
.
Então, o domínio de
é todos os
tais que
.
Passo 9
Por fim, vamos calcular
:
Simplificando as frações:
Passo 10
Agora, vamos determinar o domínio de
. Primeiro,
está definido para
.
Depois,
está definida quando
, ou seja,
.
Então, o domínio de
é todos os
tais que
e
.
Resposta
As funções compostas e seus domínios são:
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Seja
. Encontre uma função
tal que:
Encontre as outras medidas dos ângulos que faltam (seno, cosseno e tangente) se: