Encontre as funções seus domínios.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar as composições das funções e , ou seja, , , e , além de determinar os domínios dessas composições. As funções que temos são:
Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a composição de funções e como determinar o domínio de uma função composta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é composição de funções. Compor com , ou seja, , significa substituir a função na função . Matematicamente, isso fica:
O mesmo vale para , que é .

Passo 3

Vamos começar encontrando :
Agora, precisamos determinar o domínio dessa função. O denominador não pode ser zero, então:
Fatorando, temos:
Isso implica que e . Como nunca é zero para números reais, o domínio de é todos os números reais exceto .

Passo 4

Agora, vamos encontrar :
Para o domínio, precisamos que o argumento de seja definido, ou seja, . Além disso, na expressão resultante, também não pode ser zero, então o domínio de é todos os números reais exceto .

Passo 5

Vamos agora encontrar :
O domínio de é onde está definido e também onde está definido. Como exige que , temos que o domínio de é todos os números reais exceto .

Passo 6

Por último, vamos encontrar :
Essa expressão pode ser expandida, mas para os propósitos da composição, não precisamos simplificá-la completamente. Quanto ao domínio, é um polinômio, que está definido para todos os números reais. Então, o domínio de também é todos os números reais.

Resposta

As composições das funções e seus respectivos domínios são:
í
í
í
í

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