Encontre as funções
seus domínios.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar as composições das funções
e
, ou seja,
,
,
e
, além de determinar os domínios dessas composições. As funções que temos são:
Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a composição de funções e como determinar o domínio de uma função composta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é composição de funções. Compor
com
, ou seja,
, significa substituir a função
na função
. Matematicamente, isso fica:
O mesmo vale para
, que é
.
Passo 3
Vamos começar encontrando
:
Agora, precisamos determinar o domínio dessa função. O denominador não pode ser zero, então:
Fatorando, temos:
Isso implica que
e
. Como
nunca é zero para números reais, o domínio de
é todos os números reais exceto
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar
:
Para o domínio, precisamos que o argumento de
seja definido, ou seja,
. Além disso, na expressão resultante,
também não pode ser zero, então o domínio de
é todos os números reais exceto
.
Passo 5
Vamos agora encontrar
:
O domínio de
é onde
está definido e também onde
está definido. Como
exige que
, temos que o domínio de
é todos os números reais exceto
.
Passo 6
Por último, vamos encontrar
:
Essa expressão pode ser expandida, mas para os propósitos da composição, não precisamos simplificá-la completamente. Quanto ao domínio,
é um polinômio, que está definido para todos os números reais. Então, o domínio de
também é todos os números reais.
Resposta
As composições das funções e seus respectivos domínios são:
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