Encontre as funções f + g, f - g, f g e f/g e estabeleça os respectivos domínios. (Observação: o domínio será dado pela interseção entre os domínios de f e g.)
f(x) = 1, g(x) = 1 + raiz(x)

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar as funções resultantes das operações , , f * g e f/g, dadas as funções e . Além disso, devemos determinar os domínios dessas novas funções, que serão a interseção dos domínios de f e g. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como somar, subtrair, multiplicar e dividir funções, além de entender os conceitos de domínio das funções.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a soma das funções . A operação significa que, para cada valor de x, somamos os valores de f(x) e g(x). Então:
Simplificando:
Aqui, utilizamos a definição básica de soma de funções, somando os seus valores para cada x.

Passo 3

Agora, vamos calcular a subtração das funções . Isso significa que, para cada x, subtraímos o valor de g(x) de f(x):
Simplificando:
Aqui, novamente aplicamos a definição de subtração de funções, subtraindo os valores correspondentes para cada x.

Passo 4

Vamos agora multiplicar as funções f e g, ou seja, calcular f * g:
Simplificando:
A multiplicação de funções implica multiplicar seus valores correspondentes para cada x.

Passo 5

Por último, vamos dividir f por g, ou seja, calcular f/g:
Aqui, a divisão de funções significa dividir os valores de f(x) pelos valores de g(x) para cada x, desde que .

Passo 6

Agora, vamos determinar os domínios de cada uma das funções resultantes. Lembrando que o domínio de uma função é o conjunto de valores de x para os quais a função está definida, e que o domínio das operações com funções é a interseção dos domínios de f e g.
Primeiro, analisamos o domínio de . Como não há restrições, o domínio de f é todos os números reais:
Em seguida, observamos o domínio de . A raiz quadrada só está definida para x >= 0:
Portanto, a interseção dos domínios de f e g é .
Isso significa que as funções , , f * g e f/g terão todas o domínio .

Resposta

As funções resultantes e seus domínios são:
  • , com domínio x >= 0.
  • , com domínio x >= 0.
  • , com domínio x >= 0.
  • , com domínio x >= 0.

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