Se
x^2 + x*y + y^3 = 1
encontre o valor de y'' no ponto onde x = 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a equação e pede para encontrarmos a segunda derivada de em relação a , ou seja, , no ponto onde . Isso faz parte do estudo de derivadas implícitas em cálculo. Para resolver, vamos precisar usar a derivada implícita duas vezes.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a primeira derivada . Como a equação relaciona e de forma implícita, vamos derivar cada termo em relação a , lembrando que é uma função de .
Derivando cada termo:
  • A derivada de é .
  • A derivada de usa a regra do produto: .
  • A derivada de usa a regra da cadeia: .
  • A derivada de uma constante, como , é .
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos resolver para . Vamos agrupar os termos que contêm :
Isolando :

Passo 4

Para encontrar no ponto onde , precisamos primeiro descobrir o valor de quando . Substituindo na equação original :
Fatorando:
Então, ou . Como estamos no conjunto dos números reais, temos .

Passo 5

Agora que sabemos que quando , , podemos encontrar nesse ponto usando a expressão que encontramos:
Agora, vamos derivar novamente para encontrar . Diferenciando em relação a :
Usaremos a regra do quociente para derivar:
Substituindo , e :

Resposta

O valor de no ponto onde é .

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