Se
encontre o valor de
no ponto onde
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a equação
e pede para encontrarmos a segunda derivada de
em relação a
, ou seja,
, no ponto onde
. Isso faz parte do estudo de derivadas implícitas em cálculo. Para resolver, vamos precisar usar a derivada implícita duas vezes.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a primeira derivada
. Como a equação relaciona
e
de forma implícita, vamos derivar cada termo em relação a
, lembrando que
é uma função de
.
Derivando cada termo:
- A derivada de
é . - A derivada de
usa a regra do produto: . - A derivada de
usa a regra da cadeia: . - A derivada de uma constante, como
, é .
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos resolver para
. Vamos agrupar os termos que contêm
:
Isolando
:
Passo 4
Para encontrar
no ponto onde
, precisamos primeiro descobrir o valor de
quando
. Substituindo
na equação original
:
Fatorando:
Então,
ou
. Como estamos no conjunto dos números reais, temos
.
Passo 5
Agora que sabemos que quando
,
, podemos encontrar
nesse ponto usando a expressão que encontramos:
Agora, vamos derivar novamente para encontrar
. Diferenciando
em relação a
:
Usaremos a regra do quociente para derivar:
Substituindo
,
e
:
Resposta
O valor de
no ponto onde
é
.