Encontre as funções
e
e seus domínios.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos as funções compostas
,
,
e
, além de seus respectivos domínios. Estamos lidando com funções trigonométricas e radicais, então vamos precisar saber como compor funções e entender os domínios de cada função envolvida. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função composta. A função composta
significa que a gente aplica a função
primeiro e depois aplica a função
no resultado. Ou seja,
. O mesmo vale para as outras composições.
Passo 3
Vamos encontrar
:
Sabemos que
e
.
Então,
Passo 4
Agora, para determinar o domínio de
, precisamos considerar o domínio de
e garantir que o valor de
esteja dentro do domínio de
.
Sabemos que
está definido para
. E como o cosseno está definido para todos os reais, o domínio de
é
.
Passo 5
Vamos agora encontrar
:
Passo 6
Para achar o domínio de
, precisamos que
, já que estamos tirando a raiz quadrada.
Sabemos que
quando
está nos intervalos
para todo inteiro
. Então, o domínio de
são todos os
tais que
.
Passo 7
Agora, vamos calcular
:
Passo 8
O domínio de
é o mesmo domínio de
, que é todos os reais, já que o cosseno está definido para qualquer valor de
.
Passo 9
Finalmente, vamos calcular
:
Passo 10
Para determinar o domínio de
, precisamos que todas as expressões dentro das raízes sejam não negativas:
- Primeiro,
está definido para . - Depois,
.
Portanto, o domínio de
é
.
Resposta
As funções compostas e seus domínios são: