Encontre as funções
e
e seus domínios.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos as funções compostas
,
,
e
, além de seus respectivos domínios. Estamos lidando com funções trigonométricas e radicais, então vamos precisar saber como compor funções e entender os domínios de cada função envolvida. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função composta. A função composta
significa que a gente aplica a função
primeiro e depois aplica a função
no resultado. Ou seja,
. O mesmo vale para as outras composições.
Passo 3
Vamos encontrar
:
Sabemos que
e
.
Então,
Passo 4
Agora, para determinar o domínio de
, precisamos considerar o domínio de
e garantir que o valor de
esteja dentro do domínio de
.
Sabemos que
está definido para
. E como o cosseno está definido para todos os reais, o domínio de
é
.
Passo 5
Vamos agora encontrar
:
Passo 6
Para achar o domínio de
, precisamos que
, já que estamos tirando a raiz quadrada.
Sabemos que
quando
está nos intervalos
para todo inteiro
. Então, o domínio de
são todos os
tais que
.
Passo 7
Agora, vamos calcular
:
Passo 8
O domínio de
é o mesmo domínio de
, que é todos os reais, já que o cosseno está definido para qualquer valor de
.
Passo 9
Finalmente, vamos calcular
:
Passo 10
Para determinar o domínio de
, precisamos que todas as expressões dentro das raízes sejam não negativas:
- Primeiro,
está definido para . - Depois,
.
Portanto, o domínio de
é
.
Resposta
As funções compostas e seus domínios são:
Exercícios relacionados
Classifique cada função como uma função afim, função potência, função raiz, função polinomial (estabeleça seu grau), função racional, função algébrica, função trigonométrica, função exponencial ou função logarítmica.
Resolva cada equação em
.
Dada a função
, mostre que
e
.
Dada a função bijetora
, encontre uma fórmula para
.