Encontre as funções f o g, g o f, f o f e g(g) e seus domínios. f(x) = cos(x), g(x) = 1 - raiz(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos as funções compostas f(g), g(f), f o f e g(g), além de seus respectivos domínios. Estamos lidando com funções trigonométricas e radicais, então vamos precisar saber como compor funções e entender os domínios de cada função envolvida. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função composta. A função composta f(g) significa que a gente aplica a função g primeiro e depois aplica a função f no resultado. Ou seja, . O mesmo vale para as outras composições.

Passo 3

Vamos encontrar f(g):
Sabemos que e .
Então,

Passo 4

Agora, para determinar o domínio de f(g), precisamos considerar o domínio de g(x) e garantir que o valor de g(x) esteja dentro do domínio de f.
Sabemos que raiz(x) está definido para x >= 0. E como o cosseno está definido para todos os reais, o domínio de f(g) é x >= 0.

Passo 5

Vamos agora encontrar g(f):

Passo 6

Para achar o domínio de g(f), precisamos que , já que estamos tirando a raiz quadrada.
Sabemos que quando x está nos intervalos para todo inteiro k. Então, o domínio de g(f) são todos os x tais que .

Passo 7

Agora, vamos calcular f o f:

Passo 8

O domínio de f o f é o mesmo domínio de f(x), que é todos os reais, já que o cosseno está definido para qualquer valor de x.

Passo 9

Finalmente, vamos calcular g(g):

Passo 10

Para determinar o domínio de g(g), precisamos que todas as expressões dentro das raízes sejam não negativas:
  1. Primeiro, raiz(x) está definido para x >= 0.
  2. Depois, .
Portanto, o domínio de g(g) é 0 <= x <= 1.

Resposta

As funções compostas e seus domínios são:
íííí

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