Resolva cada equação em x. ln(x) + ln(x - 1) = 0

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A questão pede pra resolver a equação . Estamos lidando com logaritmos naturais, que fazem parte da matéria de funções logarítmicas. Para resolver isso, a gente vai precisar usar propriedades dos logaritmos e um pouco de álgebra para isolar o valor de x.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar uma propriedade importante dos logaritmos: . Isso significa que a soma de dois logaritmos pode ser simplificada multiplicando os argumentos. Aplicando isso à nossa equação:

Passo 3

Agora, temos . Sabemos que , então para que o logaritmo de algo seja zero, esse algo precisa ser 1. Portanto:

Passo 4

Vamos resolver a equação . Primeiro, distribuímos o x:
Em seguida, trazemos o 1 para o lado esquerdo da equação para igualar a zero:

Passo 5

Agora temos uma equação quadrática: . Para resolver, vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Substituindo na fórmula:

Passo 6

Calculando os valores:

Passo 7

Agora, vamos verificar quais soluções são válidas. Como estamos lidando com logaritmos, os argumentos x e x - 1 precisam ser maiores que zero:
A solução não satisfaz essas condições. Portanto, só a solução positiva é válida.

Resposta

A solução da equação é .

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