Encontre as funções
seus domínios.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as composições das funções
e
, ou seja,
,
,
e
, além dos seus respectivos domínios. As funções dadas são:
Vamos precisar entender como compor funções e determinar os domínios dessas novas funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o que é a composição de funções. A composição
significa que a gente aplica a função
primeiro e depois a função
no resultado. Matematicamente, isso é escrito como:
E similarmente para
:
Para
e
, a gente apenas aplica a função nela mesma:
Passo 3
Vamos começar encontrando
:
Aqui, a expressão
só é válida se
, ou seja,
. Além disso, dentro das raízes quadradas originais, precisamos garantir que os argumentos sejam não negativos:
E para
:
Combinando essas restrições, o domínio de
é
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar
:
Para que essa expressão faça sentido, precisamos que:
Além disso,
. Portanto, o domínio de
é
ou
.
Passo 5
Vamos encontrar
:
Para que essa função exista:
Além disso,
. Então, o domínio de
é
ou
.
Passo 6
Finalmente, vamos encontrar
:
Para que essa expressão seja válida:
Além disso, precisamos que
, que já garantimos com
. Também, o argumento dentro da raiz
precisa ser não negativo:
Portanto, o domínio de
é
.
Resposta
As composições das funções e seus domínios são:
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Faça o gráfico de cada função, sem marcar pontos, mas começando com o gráfico de uma das funções básicas dadas na Seção 1.2 e então aplicando as transformações apropriadas.
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