Encontre as funções seus domínios.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as composições das funções e , ou seja, , , e , além dos seus respectivos domínios. As funções dadas são:
Vamos precisar entender como compor funções e determinar os domínios dessas novas funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que é a composição de funções. A composição significa que a gente aplica a função primeiro e depois a função no resultado. Matematicamente, isso é escrito como:
E similarmente para :
Para e , a gente apenas aplica a função nela mesma:

Passo 3

Vamos começar encontrando :
Aqui, a expressão só é válida se , ou seja, . Além disso, dentro das raízes quadradas originais, precisamos garantir que os argumentos sejam não negativos:
E para :
Combinando essas restrições, o domínio de é .

Passo 4

Agora, vamos encontrar :
Para que essa expressão faça sentido, precisamos que:
Além disso, . Portanto, o domínio de é ou .

Passo 5

Vamos encontrar :
Para que essa função exista:
Além disso, . Então, o domínio de é ou .

Passo 6

Finalmente, vamos encontrar :
Para que essa expressão seja válida:
Além disso, precisamos que , que já garantimos com . Também, o argumento dentro da raiz precisa ser não negativo:
Portanto, o domínio de é .

Resposta

As composições das funções e seus domínios são:
í
í
í
í

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Faça o gráfico de cada função, sem marcar pontos, mas começando com o gráfico de uma das funções básicas dadas na Seção 1.2 e então aplicando as transformações apropriadas.
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