Faça o gráfico de cada função, sem marcar pontos, mas começando com o gráfico de uma das funções básicas dadas na Seção 1.2 e então aplicando as transformações apropriadas.

Passo 1

Beleza, vamos começar! A questão pede para a gente fazer o gráfico da função sem marcar pontos. Isso envolve trabalhar com funções quadráticas e aplicar transformações nas funções básicas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar da forma básica de uma parábola e como ela se transforma com diferentes operações.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função básica que vamos usar. A função básica de uma parábola é . Essa é a forma mais simples de uma parábola, que abre para cima e tem o vértice na origem (0,0).

Passo 3

Agora, vamos observar os termos na nossa função . Podemos reescrever isso como . Aqui, vemos alguns elementos que vão transformar a nossa função básica.

Passo 4

Primeiro, o coeficiente de é -1. Isso significa que a parábola vai abrir para baixo, em vez de para cima. Essa é uma reflexão da função básica em relação ao eixo .

Passo 5

O termo indica que vamos ter um deslocamento na posição do vértice da parábola. Para identificar exatamente onde fica o v��rtice, podemos completar o quadrado ou usar a fórmula do vértice para funções quadráticas.

Passo 6

Vamos completar o quadrado para facilitar. A função é . Primeiro, fatoramos o -1 nos dois primeiros termos:
Agora, completamos o quadrado dentro dos parênteses. Pegamos metade do coeficiente de , que é -1, e elevamos ao quadrado, obtendo 1:
Distribuindo o -1:
Então, o vértice da parábola está em (1, 2).

Passo 7

Com o vértice em (1, 2) e sabendo que a parábola abre para baixo, podemos desenhar o gráfico começando por esse ponto. Não precisamos marcar pontos adicionais, mas é bom lembrar que a parábola é simétrica em relação à linha .

Passo 8

Finalmente, juntando tudo, a transformação feita na função básica foi:
  1. Refletir em relação ao eixo (por causa do -1 em ).
  2. Deslocar o vértice para a direita em 1 unidade e para cima em 2 unidades.

Resposta

O gráfico da função é uma parábola que abre para baixo com o vértice no ponto (1, 2).

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