Faça o gráfico de cada função, sem marcar pontos, mas começando com o gráfico de uma das funções básicas dadas na Seção 1.2 e então aplicando as transformações apropriadas.
Passo 1
Beleza, vamos começar! A questão pede para a gente fazer o gráfico da função
sem marcar pontos. Isso envolve trabalhar com funções quadráticas e aplicar transformações nas funções básicas. Para resolver isso, vamos precisar lembrar da forma básica de uma parábola e como ela se transforma com diferentes operações.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função básica que vamos usar. A função básica de uma parábola é
. Essa é a forma mais simples de uma parábola, que abre para cima e tem o vértice na origem (0,0).
Passo 3
Agora, vamos observar os termos na nossa função
. Podemos reescrever isso como
. Aqui, vemos alguns elementos que vão transformar a nossa função básica.
Passo 4
Primeiro, o coeficiente de
é -1. Isso significa que a parábola vai abrir para baixo, em vez de para cima. Essa é uma reflexão da função básica
em relação ao eixo
.
Passo 5
O termo
indica que vamos ter um deslocamento na posição do vértice da parábola. Para identificar exatamente onde fica o v��rtice, podemos completar o quadrado ou usar a fórmula do vértice para funções quadráticas.
Passo 6
Vamos completar o quadrado para facilitar. A função é
. Primeiro, fatoramos o -1 nos dois primeiros termos:
Agora, completamos o quadrado dentro dos parênteses. Pegamos metade do coeficiente de
, que é -1, e elevamos ao quadrado, obtendo 1:
Distribuindo o -1:
Então, o vértice da parábola está em (1, 2).
Passo 7
Com o vértice em (1, 2) e sabendo que a parábola abre para baixo, podemos desenhar o gráfico começando por esse ponto. Não precisamos marcar pontos adicionais, mas é bom lembrar que a parábola é simétrica em relação à linha
.
Passo 8
Finalmente, juntando tudo, a transformação feita na função básica
foi:
- Refletir em relação ao eixo
(por causa do -1 em ). - Deslocar o vértice para a direita em 1 unidade e para cima em 2 unidades.
Resposta
O gráfico da função
é uma parábola que abre para baixo com o vértice no ponto (1, 2).
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