Encontre as funções
seus domínios.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as funções compostas
,
,
e
, além de seus domínios. As funções que temos são:
-
, que é a raiz cúbica de . -
, que envolve uma raiz quadrada.
Para resolver isso, vamos precisar lembrar como funcionam as funções compostas e determinar os domínios de cada uma delas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma função composta. A composição
significa que a gente coloca a função
dentro da função
. Ou seja,
. O mesmo vale para as outras composições.
Passo 3
Vamos começar com
, que é
. Substituindo
em
:
Agora, precisamos determinar o domínio dessa função. O domínio é o conjunto de valores de
para os quais a expressão está definida.
Passo 4
Para
, temos
dentro da expressão. A raiz quadrada só é definida para
. Além disso, como estamos tirando a raiz cúbica de
, e a raiz cúbica está definida para todos os números reais, não há restrição adicional. Então, o domínio de
é:
Passo 5
Agora vamos para
, que é
. Substituindo
em
:
Vamos determinar o domínio dessa função.
Passo 6
Dentro de
, temos
. A raiz quadrada exige que a expressão dentro dela seja não negativa:
A raiz cúbica está definida para todos os números reais, mas para a raiz quadrada, precisamos que
, ou seja:
Portanto, o domínio de
é:
Passo 7
Vamos agora para
, que é
. Substituindo
em
:
A função
está definida para todos os números reais, e como estamos aplicando a raiz cúbica novamente, não há restrições no domínio.
Passo 8
Então, o domínio de
é:
Ou seja, todos os números reais são permitidos.
Passo 9
Por fim, vamos encontrar
, que é
. Substituindo
em
:
Vamos determinar o domínio dessa função.
Passo 10
Dentro de
, temos
. Primeiro, a raiz quadrada interna,
, exige que:
E a expressão
dentro da próxima raiz quadrada deve ser não negativa:
Portanto, combinando as duas condições, o domínio de
é:
Resposta
As funções compostas e seus domínios são:
-
, com domínio . -
, com domínio . -
, com domínio . -
, com domínio .
Exercícios relacionados
Encontre as funções
seus domínios.
Faça o gráfico de cada função, sem marcar pontos, mas começando com o gráfico de uma das funções básicas dadas na Seção 1.2 e então aplicando as transformações apropriadas.
Encontre
Expresse a função na forma
.