Encontre as funções seus domínios.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as funções compostas , , e , além de seus domínios. As funções que temos são:
  • , que é a raiz cúbica de .
  • , que envolve uma raiz quadrada.
Para resolver isso, vamos precisar lembrar como funcionam as funções compostas e determinar os domínios de cada uma delas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função composta. A composição significa que a gente coloca a função dentro da função . Ou seja, . O mesmo vale para as outras composições.

Passo 3

Vamos começar com , que é . Substituindo em :
Agora, precisamos determinar o domínio dessa função. O domínio é o conjunto de valores de para os quais a expressão está definida.

Passo 4

Para , temos dentro da expressão. A raiz quadrada só é definida para . Além disso, como estamos tirando a raiz cúbica de , e a raiz cúbica está definida para todos os números reais, não há restrição adicional. Então, o domínio de é:

Passo 5

Agora vamos para , que é . Substituindo em :
Vamos determinar o domínio dessa função.

Passo 6

Dentro de , temos . A raiz quadrada exige que a expressão dentro dela seja não negativa:
A raiz cúbica está definida para todos os números reais, mas para a raiz quadrada, precisamos que , ou seja:
Portanto, o domínio de é:

Passo 7

Vamos agora para , que é . Substituindo em :
A função está definida para todos os números reais, e como estamos aplicando a raiz cúbica novamente, não há restrições no domínio.

Passo 8

Então, o domínio de é:
Ou seja, todos os números reais são permitidos.

Passo 9

Por fim, vamos encontrar , que é . Substituindo em :
Vamos determinar o domínio dessa função.

Passo 10

Dentro de , temos . Primeiro, a raiz quadrada interna, , exige que:
E a expressão dentro da próxima raiz quadrada deve ser não negativa:
Portanto, combinando as duas condições, o domínio de é:

Resposta

As funções compostas e seus domínios são:
  1. , com domínio .
  2. , com domínio .
  3. , com domínio .
  4. , com domínio .

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Faça o gráfico de cada função, sem marcar pontos, mas começando com o gráfico de uma das funções básicas dadas na Seção 1.2 e então aplicando as transformações apropriadas.
Encontre
Expresse a função na forma .