Encontre as funções f o g, g o f, f o f e g o f e seus domínios. f(x) = raiz(3)(x), g(x) = 1 - raiz(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as funções compostas f(g), g(f), f o f e g(g), além de seus domínios. As funções que temos são:
  • , que é a raiz cúbica de x.
  • , que envolve uma raiz quadrada.
Para resolver isso, vamos precisar lembrar como funcionam as funções compostas e determinar os domínios de cada uma delas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função composta. A composição f(g) significa que a gente coloca a função g dentro da função f. Ou seja, f(g(x)). O mesmo vale para as outras composições.

Passo 3

Vamos começar com f(g), que é f(g(x)). Substituindo g(x) em f(x):
Agora, precisamos determinar o domínio dessa função. O domínio é o conjunto de valores de x para os quais a expressão está definida.

Passo 4

Para f(g), temos raiz(x) dentro da expressão. A raiz quadrada só é definida para x >= 0. Além disso, como estamos tirando a raiz cúbica de , e a raiz cúbica está definida para todos os números reais, não há restrição adicional. Então, o domínio de f(g) é:

Passo 5

Agora vamos para g(f), que é g(f(x)). Substituindo f(x) em g(x):
Vamos determinar o domínio dessa função.

Passo 6

Dentro de g(f), temos . A raiz quadrada exige que a expressão dentro dela seja não negativa:
A raiz cúbica está definida para todos os números reais, mas para a raiz quadrada, precisamos que , ou seja:
Portanto, o domínio de g(f) é:

Passo 7

Vamos agora para f o f, que é f(f(x)). Substituindo f(x) em f(x):
A função está definida para todos os números reais, e como estamos aplicando a raiz cúbica novamente, não há restrições no domínio.

Passo 8

Então, o domínio de f o f é:
Ou seja, todos os números reais são permitidos.

Passo 9

Por fim, vamos encontrar g(g), que é g(g(x)). Substituindo g(x) em g(x):
Vamos determinar o domínio dessa função.

Passo 10

Dentro de g(g), temos . Primeiro, a raiz quadrada interna, raiz(x), exige que:
E a expressão dentro da próxima raiz quadrada deve ser não negativa:
Portanto, combinando as duas condições, o domínio de g(g) é:

Resposta

As funções compostas e seus domínios são:
  1. , com domínio x >= 0.
  2. , com domínio x >= 0.
  3. , com domínio x em R.
  4. , com domínio 0 <= x <= 1.

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