Encontre as funções f o g, g o f, f o f e g o f e seus domínios. f(x)=(x+2)/(2x+1), g(x)=x/(x-2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as funções compostas , , e , além dos domínios delas. As funções que temos são:
Vamos usar o conteúdo de funções compostas e domínios para resolver tudo direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é função composta. Quando a gente tem , significa que a gente vai aplicar a função primeiro e depois aplicar a função no resultado. Então, vamos calcular .

Passo 3

Calculando :
Agora substituímos na :
Vamos simplificar isso.

Passo 4

Simplificando o numerador:
Simplificando o denominador:

Passo 5

Agora, colocando tudo junto:
Então, .

Passo 6

Vamos determinar o domínio de . O denominador não pode ser zero:
Além disso, o domínio de exige que .
Então, o domínio de é menos e .

Passo 7

Agora, vamos calcular :
Substituindo na :
Vamos simplificar isso.

Passo 8

Simplificando o denominador:
Então:

Passo 9

Determinar o domínio de :
O denominador não pode ser zero:
Além disso, o denominador original de , .
Então, o domínio de é menos e .

Passo 10

Vamos agora calcular :
Substituindo na :
Simplificando isso.

Passo 11

Simplificando o numerador:
Simplificando o denominador:
Então:

Passo 12

Determinar o domínio de :
O denominador
Além disso, o denominador original de , .
Então, o domínio de é menos e .

Passo 13

Finalmente, vamos calcular :
Substituindo na :
Simplificando isso.

Passo 14

Simplificando o denominador:
Então:

Passo 15

Determinar o domínio de :
O denominador
Além disso, o denominador original de , .
Então, o domínio de é menos e .

Resposta

As funções compostas e seus domínios são:
Domínio:
Domínio:
Domínio:
Domínio:

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