Encontre as funções
e
, tais que
e
quando
e
para os valores positivos de
. O que você pode dizer sobre o limite
?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar duas funções, chamadas
e
, que satisfazem três condições:
- Quando
cresce indefinidamente (ou seja, ), tanto quanto se aproximam de 0. - Para todos os valores positivos de
, a função está entre e . Em outras palavras, .
Além disso, queremos descobrir o que acontece com o limite de
quando
vai para o infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites, funções limitadoras e o comportamento da função seno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função seno,
, oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de
. Isso significa que:
Agora, vamos dividir todos os termos dessa desigualdade por
(que é positivo), o que nos dá:
Aqui, escolhemos
e
. Vamos verificar se essas funções atendem às condições da questão.
Passo 3
Vamos conferir o comportamento de
e
quando
tende ao infinito:
Então, tanto
quanto
realmente se aproximam de 0 quando
cresce sem limite, conforme requerido.
Passo 4
Agora que temos:
E sabemos que ambos os limites inferiores e superiores (
e
) tendem a 0 quando
vai para o infinito, podemos usar o Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche) para determinar o limite de
.
Passo 5
O Teorema do Confronto diz que se
para todos os
em algum intervalo e:
Então:
Aplicando isso à nossa situação:
Então, pelo Teorema do Confronto:
Resposta
Portanto, o limite de
quando
tende ao infinito é 0.
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, se houver, nos quais
não é contínua.
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Usando o método da substituição inversa, encontre uma mudança de variáveis
que elimina a raiz do integrando.
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