Encontre as funções e , tais que e quando e para os valores positivos de . O que você pode dizer sobre o limite ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar duas funções, chamadas e , que satisfazem três condições:
  1. Quando cresce indefinidamente (ou seja, ), tanto quanto se aproximam de 0.
  2. Para todos os valores positivos de , a função está entre e . Em outras palavras, .
Além disso, queremos descobrir o que acontece com o limite de quando vai para o infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites, funções limitadoras e o comportamento da função seno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função seno, , oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de . Isso significa que:
Agora, vamos dividir todos os termos dessa desigualdade por (que é positivo), o que nos dá:
Aqui, escolhemos e . Vamos verificar se essas funções atendem às condições da questão.

Passo 3

Vamos conferir o comportamento de e quando tende ao infinito:
Então, tanto quanto realmente se aproximam de 0 quando cresce sem limite, conforme requerido.

Passo 4

Agora que temos:
E sabemos que ambos os limites inferiores e superiores ( e ) tendem a 0 quando vai para o infinito, podemos usar o Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche) para determinar o limite de .

Passo 5

O Teorema do Confronto diz que se para todos os em algum intervalo e:
Então:
Aplicando isso à nossa situação:
Então, pelo Teorema do Confronto:

Resposta

Portanto, o limite de quando tende ao infinito é 0.

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