Encontre as funções g e h, tais que g(x) 0 e h(x) 0 quando x infty e g(x) <= sin xx <= h(x) para os valores positivos de x. O que você pode dizer sobre o limite lim x infty sin xx ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar duas funções, chamadas g(x) e h(x), que satisfazem três condições:
  1. Quando x cresce indefinidamente (ou seja, x infty), tanto g(x) quanto h(x) se aproximam de 0.
  2. Para todos os valores positivos de x, a função sin xx está entre g(x) e h(x). Em outras palavras, g(x) <= sin xx <= h(x).
Além disso, queremos descobrir o que acontece com o limite de sin xx quando x vai para o infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites, funções limitadoras e o comportamento da função seno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função seno, sin x, oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de x. Isso significa que:
-1 <= sin x <= 1
Agora, vamos dividir todos os termos dessa desigualdade por x (que é positivo), o que nos dá:
-1x <= sin xx <= 1x
Aqui, escolhemos g(x) = -1x e h(x) = 1x. Vamos verificar se essas funções atendem às condições da questão.

Passo 3

Vamos conferir o comportamento de g(x) e h(x) quando x tende ao infinito:
limx infty -1x = 0
limx infty 1x = 0
Então, tanto g(x) quanto h(x) realmente se aproximam de 0 quando x cresce sem limite, conforme requerido.

Passo 4

Agora que temos:
-1x <= sin xx <= 1x
E sabemos que ambos os limites inferiores e superiores ( -1x e 1x) tendem a 0 quando x vai para o infinito, podemos usar o Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche) para determinar o limite de sin xx.

Passo 5

O Teorema do Confronto diz que se g(x) <= f(x) <= h(x) para todos os x em algum intervalo e:
limx infty g(x) = limx infty h(x) = L
Então:
limx infty f(x) = L
Aplicando isso à nossa situação:
limx infty -1x = 0
limx infty 1x = 0
Então, pelo Teorema do Confronto:
limx infty sin xx = 0

Resposta

Portanto, o limite de sin xx quando x tende ao infinito é 0.
limx infty sin xx = 0

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