Encontre os pontos
, se houver, nos quais
não é contínua.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no problema. A gente precisa encontrar os pontos
onde a função
não é contínua. A função dada é definida por partes:
Vamos precisar entender o que é continuidade e como verificar se a função continua em todos os pontos ou se tem algum ponto onde ela “quebra”.
Passo 2
Primeiro, lembrar o que significa a função ser contínua em um ponto. Uma função
é contínua em
se:
-
está definida. - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite é igual a
.
Passo 3
Vamos analisar onde a função pode não ser contínua. Como
é definida por partes, o único ponto suspeito é onde muda a definição, ou seja, em
. Em outros lugares, cada parte da função (
e
) é polinomial e, portanto, contínua.
Passo 4
Vamos verificar a continuidade em
:
- Valor da função em 2:
- Limite quando
se aproxima de 2 pela esquerda ( ):
- Limite quando
se aproxima de 2 pela direita ( ):
Passo 5
Agora, comparar os limites e o valor da função:
Como os limites pela esquerda e pela direita não são iguais (
), o limite geral em
não existe.
Resposta
A função
não é contínua no ponto
.
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e
, tais que
e
quando
e
para os valores positivos de
. O que você pode dizer sobre o limite
?
Usando o método da substituição inversa, encontre uma mudança de variáveis
que elimina a raiz do integrando.
.