Encontre os limites.
lim x 0^+ ln (2 / x)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o limite de ln(2 / x) quando x se aproxima de 0 pelo lado positivo. Isso pertence ao conteúdo de Cálculo, especificamente aos limites. Para resolver, vamos precisar entender como as funções logaritmicas se comportam e como manipular expressões que envolvem divisão.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com a expressão dentro do logaritmo, que é 2/x, quando x se aproxima de 0 pelo lado positivo. Como x está no denominador e está se aproximando de 0, 2/x vai ficar cada vez maior.

Passo 3

Matematicamente, quando x 0^+, 2/x +infty. Isso significa que o valor de 2/x cresce sem limites à medida que x fica muito pequeno.

Passo 4

Agora, vamos considerar o comportamento do logaritmo natural, ln(t), quando t se aproxima de +infty. Sabemos que ln(t) também cresce sem limites conforme t aumenta.

Passo 5

Combinando os passos anteriores, já que 2/x +infty quando x 0^+ e ln(t) +infty quando t +infty, concluímos que:
lim x 0^+ ln (2x) = +infty

Resposta

O limite é +infty.

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