Usando o método da substituição inversa, encontre uma mudança de variáveis que elimina a raiz do integrando.
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Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. A gente tem uma integral que é:
O objetivo é usar o método da substituição inversa para encontrar uma mudança de variável que vai eliminar a raiz quadrada no integrando. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente sobre técnicas de integração por substituição. Para resolver isso, vamos precisar entender como escolher uma substituição que simplifique a expressão dentro da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parte complicada da integral, que é o . A ideia do método da substituição inversa é encontrar uma substituição que transforme essa expressão em algo mais simples, sem a raiz.
Uma substituição comum para eliminar a raiz de é usar funções trigonométricas, porque temos a identidade , que pode ajudar a simplificar a expressão. Vamos tentar substituir por uma função trigonométrica.
Vamos definir:

Passo 3

Agora, com , vamos encontrar o em termos de . Derivando ambos os lados em relação a :
Substituindo e na integral original:

Passo 4

Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 5

Perceba que simplifica para , porque o cancela:

Passo 6

Agora, essa é uma integral bem simples de resolver. A integral de em relação a é:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, precisamos voltar para a variável original . Lembrando que fizemos a substituição , então podemos encontrar em termos de :
Substituindo de volta na expressão da integral:

Resposta

Portanto, a integral resolvida pelo método da substituição inversa resulta em:

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Encontre as funções e , tais que e quando e para os valores positivos de . O que você pode dizer sobre o limite ?
Usando o método da substituição inversa, encontre uma mudança de variáveis que elimina a raiz do integrando.
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