Usando o método da substituição inversa, encontre uma mudança de variáveis que elimina a raiz do integrando.
.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para usarmos o método da substituição inversa para encontrar uma mudança de variável que elimine a raiz quadrada no integrando da integral . Isso envolve Cálculo Integral, especificamente técnicas de substituição para simplificar integrais complicadas. Precisaremos entender como substituir por uma função de que simplifique a expressão dentro da raiz.

Passo 2

Primeiro, observamos a expressão dentro da raiz: . Queremos eliminar essa raiz usando uma substituição. Uma estratégia comum para lidar com expressões do tipo é usar a substituição trigonométrica . Aqui, , então vamos tentar .

Passo 3

Com a substituição , precisamos encontrar em termos de . Derivando ambos os lados em relação a :
Isso nos permitirá substituir na integral original.

Passo 4

Agora, vamos substituir e na integral:
Simplificando dentro da raiz:
E sabemos que , então:

Passo 5

Substituindo tudo de volta na integral:
A integral de é uma integral padrão:

Passo 6

Agora, precisamos voltar à variável original . Lembramos que:
Então, . Também, .

Passo 7

Substituindo e de volta na expressão:
Podemos simplificar removendo o fator dentro do logaritmo, já que :

Resposta

A integral é igual a .

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Usando o método da substituição inversa, encontre uma mudança de variáveis que elimina a raiz do integrando.
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