Usando o método da substituição inversa, encontre uma mudança de variáveis que elimina a raiz do integrando. .
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para usarmos o método da substituição inversa para encontrar uma mudança de variável que elimine a raiz quadrada no integrando da integral . Isso envolve Cálculo Integral, especificamente técnicas de substituição para simplificar integrais complicadas. Precisaremos entender como substituir por uma função de que simplifique a expressão dentro da raiz.
Passo 2
Primeiro, observamos a expressão dentro da raiz: . Queremos eliminar essa raiz usando uma substituição. Uma estratégia comum para lidar com expressões do tipo é usar a substituição trigonométrica . Aqui, , então vamos tentar .
Passo 3
Com a substituição , precisamos encontrar em termos de . Derivando ambos os lados em relação a :
Isso nos permitirá substituir na integral original.
Passo 4
Agora, vamos substituir e na integral:
Simplificando dentro da raiz:
E sabemos que , então:
Passo 5
Substituindo tudo de volta na integral:
A integral de é uma integral padrão:
Passo 6
Agora, precisamos voltar à variável original . Lembramos que:
Então, . Também, .
Passo 7
Substituindo e de volta na expressão:
Podemos simplificar removendo o fator dentro do logaritmo, já que :