Usando o método da substituição inversa, encontre uma mudança de variáveis x=g(t) que elimina a raiz do integrando.
integral 1raiz4+x^2 d x.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para usarmos o método da substituição inversa para encontrar uma mudança de variável que elimine a raiz quadrada no integrando da integral . Isso envolve Cálculo Integral, especificamente técnicas de substituição para simplificar integrais complicadas. Precisaremos entender como substituir por uma função de que simplifique a expressão dentro da raiz.

Passo 2

Primeiro, observamos a expressão dentro da raiz: . Queremos eliminar essa raiz usando uma substituição. Uma estratégia comum para lidar com expressões do tipo é usar a substituição trigonométrica . Aqui, , então vamos tentar .

Passo 3

Com a substituição dx = 2 sec^2 t , dt , precisamos encontrar em termos de . Derivando ambos os lados em relação a :
Isso nos permitirá substituir na integral original.

Passo 4

Agora, vamos substituir integral 1raiz4 + x^2 , dx = integral 1raiz4 + (2 tan t)^2 cdot 2 sec^2 t , dt e raiz4 + 4 tan^2 t = raiz4(1 + tan^2 t) = 2 raiz1 + tan^2 t na integral:
2 raizsec^2 t = 2 sec t
Simplificando dentro da raiz:
E sabemos que , então:

Passo 5

Substituindo tudo de volta na integral:
integral 12 sec t cdot 2 sec^2 t , dt = integral sec t , dt
A integral de integral sec t , dt = ln |sec t + tan t| + C é uma integral padrão:

Passo 6

Agora, precisamos voltar à variável original x = 2 tan t . Lembramos que:
Então, . Também, .

Passo 7

Substituindo ln | raiz4 + x^22 + x2 | + C = ln | raiz4 + x^2 + x2 | + C e ln |raiz4 + x^2 + x| + C de volta na expressão:
Podemos simplificar removendo o fator dentro do logaritmo, já que :

Resposta

A integral é igual a .

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