Encontre quando:
e .
Sugestão: derive o Wronskiano e mostre que ele satifaz uma EDO linear. Resolva esta EDO.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a função sabendo que o Wronskiano de e é e que . Isso envolve o uso de teoria de Wronskiano e equações diferenciais ordinárias (EDOs) lineares. Vamos precisar entender como o Wronskiano relaciona e e como resolver a EDO que ele gera.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. Para duas funções e , o Wronskiano é dado por:
Aqui, já sabemos que e . Vamos substituir esses valores na fórmula do Wronskiano:
Simplificando:

Passo 3

Agora, precisamos organizar essa equação para resolver . Vamos reescrever a equação de maneira que fique na forma de uma EDO linear. Dividindo todos os termos por :
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem na forma:
Onde e .

Passo 4

Para resolver essa EDO, vamos usar o método do fator integrante. Primeiro, encontramos o fator integrante que é dado por:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Isso transforma a equação em:

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Integrando:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, resolvemos para :

Resposta

, onde é uma constante arbitrária.

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Verifique se os pares de funções são linearmente dependentes (L.D.) ou independentes (L.I.) na reta real.
;
Verifique se os pares de funções são linearmente dependentes (L.D.) ou independentes (L.I.) na reta real.
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Verifique se os pares de funções são linearmente dependentes (L.D.) ou independentes (L.I.) na reta real.
.
Encontre quando:
e .