Encontre
quando:
e
.
Sugestão: derive o Wronskiano e mostre que ele satifaz uma EDO linear. Resolva esta EDO.
Sugestão: derive o Wronskiano e mostre que ele satifaz uma EDO linear. Resolva esta EDO.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a função
sabendo que o Wronskiano de
e
é
e que
. Isso envolve o uso de teoria de Wronskiano e equações diferenciais ordinárias (EDOs) lineares. Vamos precisar entender como o Wronskiano relaciona
e
e como resolver a EDO que ele gera.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. Para duas funções
e
, o Wronskiano é dado por:
Aqui, já sabemos que
e
. Vamos substituir esses valores na fórmula do Wronskiano:
Simplificando:
Passo 3
Agora, precisamos organizar essa equação para resolver
. Vamos reescrever a equação de maneira que fique na forma de uma EDO linear. Dividindo todos os termos por
:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem na forma:
Onde
e
.
Passo 4
Para resolver essa EDO, vamos usar o método do fator integrante. Primeiro, encontramos o fator integrante
que é dado por:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Isso transforma a equação em:
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Integrando:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Finalmente, resolvemos para
:
Resposta
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Verifique se os pares de funções são linearmente dependentes (L.D.) ou independentes (L.I.) na reta real.
;
Verifique se os pares de funções são linearmente dependentes (L.D.) ou independentes (L.I.) na reta real.
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Verifique se os pares de funções são linearmente dependentes (L.D.) ou independentes (L.I.) na reta real.
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Encontre
quando:
e
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