Verifique se os pares de funções são linearmente dependentes (L.D.) ou independentes (L.I.) na reta real.
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Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se as funções dadas são linearmente dependentes (L.D.) ou independentes (L.I.) na reta real. Estamos lidando com funções exponenciais aqui: e . Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa ser linearmente dependente ou independente e aplicar esse conceito às funções fornecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é linearmente dependente ou independente. Duas funções são linearmente dependentes se uma delas pode ser escrita como um múltiplo da outra. Caso contrário, elas são linearmente independentes.
Matematicamente, isso significa que existem constantes e , não ambas zero, tais que:
Se a única solução para essa equação for , as funções são linearmente independentes.

Passo 3

Vamos aplicar isso às nossas funções:
Queremos ver se existem e diferentes de zero que satisfaçam essa equação para todo .

Passo 4

Para simplificar, vamos tentar encontrar valores específicos de que nos ajudem a resolver para e .
Por exemplo, se escolhermos :
Agora, escolhemos outro valor, digamos :
Substituindo da primeira equação:

Passo 5

A equação acima nos mostra que pode ser zero ou . Mas como não é zero (já que é a base dos logaritmos naturais e irracional), a única solução é . E, consequentemente, .
Isso significa que a única solução para a equação original é , o que implica que as funções não são múltiplos uma da outra.

Resposta

As funções e são linearmente independentes na reta real.

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Encontre quando:
e .
Sugestão: derive o Wronskiano e mostre que ele satifaz uma EDO linear. Resolva esta EDO.
Verifique se os pares de funções são linearmente dependentes (L.D.) ou independentes (L.I.) na reta real.
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