Verifique se os pares de funções são linearmente dependentes (L.D.) ou independentes (L.I.) na reta real. ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para verificar se as funções e são linearmente dependentes (L.D.) ou independentes (L.I.) na reta real. Para isso, vamos usar conceitos de combinação linear de funções e o Wronskiano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa duas funções serem linearmente dependentes ou independentes.
Linearmente Dependentes (L.D.): Duas funções são L.D. se uma delas pode ser escrita como uma combinação linear da outra. Ou seja, existe um número constante tal que .
Linearmente Independentes (L.I.): Se não existe nenhum número constante que satisfaça a relação acima, as funções são L.I.
Passo 3
Agora, para verificar isso de forma mais sistemática, vamos utilizar o Wronskiano. O Wronskiano é uma ferramenta que nos ajuda a determinar a independência linear de funções.
A fórmula do Wronskiano para duas funções e é:
Passo 4
Vamos calcular o Wronskiano para as funções dadas:
Primeiro, encontramos as derivadas:
Agora, substituímos na fórmula do Wronskiano:
Passo 5
Simplificando a expressão do Wronskiano:
Sabemos que, pela identidade trigonométrica fundamental, temos:
Então:
Passo 6
Como o Wronskiano é diferente de zero, concluímos que as funções e são linearmente independentes na reta real.
Resposta
As funções e são linearmente independentes na reta real.