Resolva os sistemas abaixo usando o método de Gauss-Jordan. Além disso, calcule o posto da matriz ampliada, o posto da matriz dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade:
(d) lx+y+z+w=0 x+y+z-w= x+y-z+w=-4 x-y+z+w=2

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão pede. Temos um sistema de equações lineares com quatro variáveis: , , e . O objetivo é resolver esse sistema usando o método de Gauss-Jordan. Além disso, precisamos calcular o posto da matriz ampliada, o posto da matriz dos coeficientes e, se o sistema for possível, determinar o grau de liberdade.
O método de Gauss-Jordan é uma técnica para resolver sistemas de equações lineares, transformando a matriz do sistema em uma matriz escalonada reduzida. Precisaremos reorganizar as equações em uma matriz aumentada e aplicar operações de linha para simplificá-la.

Passo 2

Vamos escrever o sistema de equações na forma de uma matriz aumentada. Observando o segundo equacionamento que está incompleto, vamos supor que o lado direito é zero, já que as outras equações têm constantes conhecidas.
x + y + z + w = 0 x + y + z - w = 0 x + y - z + w = -4 x - y + z + w = 2
A matriz aumentada fica assim:
1 & 1 & 1 & 1 & | & 0 1 & 1 & 1 & -1 & | & 0 1 & 1 & -1 & 1 & | & -4 1 & -1 & 1 & 1 & | & 2

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método de Gauss-Jordan para transformar essa matriz. O objetivo é obter zeros abaixo e acima dos pivôs (elementos principais) para simplificar a solução.
Primeiro, subtraímos a primeira linha das demais para eliminar o (1-1,, 1-1,, 1-1,, -1-1,, |, 0-0) Rightarrow (0,, 0,, 0,, -2,, |, 0) :
Linha 2: (1-1,, 1-1,, -1-1,, 1-1,, |, -4-0) Rightarrow (0,, 0,, -2,, 0,, |, -4)
(1-1,, -1-1,, 1-1,, 1-1,, |, 2-0) Rightarrow (0,, -2,, 0,, 0,, |, 2)
Linha 3: 1 & 1 & 1 & 1 & | & 0 0 & 0 & 0 & -2 & | & 0 0 & 0 & -2 & 0 & | & -4 0 & -2 & 0 & 0 & | & 2
Linha 4:
A matriz atualizada fica:

Passo 4

Vamos simplificar as linhas para facilitar a resolução:
Linha 2: Dividimos por (0,, 0,, 0,, 1,, |, 0) para tornar o coeficiente de (0,, 0,, 1,, 0,, |, 2) igual a 1.
(0,, 1,, 0,, 0,, |, -1)
Linha 3: Dividimos por 1 & 1 & 1 & 1 & | & 0 0 & 0 & 0 & 1 & | & 0 0 & 0 & 1 & 0 & | & 2 0 & 1 & 0 & 0 & | & -1 para tornar o coeficiente de igual a 1.
Linha 4: Dividimos por para tornar o coeficiente de igual a 1.
A matriz fica assim:

Passo 5

Agora, vamos usar as novas linhas para eliminar os demais termos nas colunas correspondentes.
Da Linha 2, sabemos que x + y + z + 0 = 0 Rightarrow x + y + z = 0 .
Substituímos x + y + 2 = 0 Rightarrow x + y = -2 na Linha 1:
x - 1 = -2 Rightarrow x = -1
Da Linha 3, temos .
Substituímos na equação acima:
Da Linha 4, temos .
Substituímos na equação :

Resposta

A solução do sistema é , , e . O posto da matriz ampliada é 4, o posto da matriz dos coeficientes é 4 e o sistema é possível e determinado, sem grau de liberdade.

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