Resolva os sistemas abaixo usando o método de Gauss-Jordan. Além disso, calcule o posto da matriz ampliada, o posto da matriz dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade:
(d)
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão pede. Temos um sistema de equações lineares com quatro variáveis: , , e . O objetivo é resolver esse sistema usando o método de Gauss-Jordan. Além disso, precisamos calcular o posto da matriz ampliada, o posto da matriz dos coeficientes e, se o sistema for possível, determinar o grau de liberdade.
O método de Gauss-Jordan é uma técnica para resolver sistemas de equações lineares, transformando a matriz do sistema em uma matriz escalonada reduzida. Precisaremos reorganizar as equações em uma matriz aumentada e aplicar operações de linha para simplificá-la.
Passo 2
Vamos escrever o sistema de equações na forma de uma matriz aumentada. Observando o segundo equacionamento que está incompleto, vamos supor que o lado direito é zero, já que as outras equações têm constantes conhecidas.
A matriz aumentada fica assim:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o método de Gauss-Jordan para transformar essa matriz. O objetivo é obter zeros abaixo e acima dos pivôs (elementos principais) para simplificar a solução.
Primeiro, subtraímos a primeira linha das demais para eliminar o :
Linha 2:
Linha 3:
Linha 4:
A matriz atualizada fica:
Passo 4
Vamos simplificar as linhas para facilitar a resolução:
Linha 2: Dividimos por para tornar o coeficiente de igual a 1.
Linha 3: Dividimos por para tornar o coeficiente de igual a 1.
Linha 4: Dividimos por para tornar o coeficiente de igual a 1.
A matriz fica assim:
Passo 5
Agora, vamos usar as novas linhas para eliminar os demais termos nas colunas correspondentes.
Da Linha 2, sabemos que .
Substituímos na Linha 1:
Da Linha 3, temos .
Substituímos na equação acima:
Da Linha 4, temos .
Substituímos na equação :
Resposta
A solução do sistema é , , e . O posto da matriz ampliada é 4, o posto da matriz dos coeficientes é 4 e o sistema é possível e determinado, sem grau de liberdade.