Resolva os sistemas abaixo usando o método de Gauss-Jordan. Além disso, calcule o posto da matriz ampliada, o posto da matriz dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade:
(d)

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão pede. Temos um sistema de equações lineares com quatro variáveis: , , e . O objetivo é resolver esse sistema usando o método de Gauss-Jordan. Além disso, precisamos calcular o posto da matriz ampliada, o posto da matriz dos coeficientes e, se o sistema for possível, determinar o grau de liberdade.
O método de Gauss-Jordan é uma técnica para resolver sistemas de equações lineares, transformando a matriz do sistema em uma matriz escalonada reduzida. Precisaremos reorganizar as equações em uma matriz aumentada e aplicar operações de linha para simplificá-la.

Passo 2

Vamos escrever o sistema de equações na forma de uma matriz aumentada. Observando o segundo equacionamento que está incompleto, vamos supor que o lado direito é zero, já que as outras equações têm constantes conhecidas.
A matriz aumentada fica assim:

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método de Gauss-Jordan para transformar essa matriz. O objetivo é obter zeros abaixo e acima dos pivôs (elementos principais) para simplificar a solução.
Primeiro, subtraímos a primeira linha das demais para eliminar o :
Linha 2:
Linha 3:
Linha 4:
A matriz atualizada fica:

Passo 4

Vamos simplificar as linhas para facilitar a resolução:
Linha 2: Dividimos por para tornar o coeficiente de igual a 1.
Linha 3: Dividimos por para tornar o coeficiente de igual a 1.
Linha 4: Dividimos por para tornar o coeficiente de igual a 1.
A matriz fica assim:

Passo 5

Agora, vamos usar as novas linhas para eliminar os demais termos nas colunas correspondentes.
Da Linha 2, sabemos que .
Substituímos na Linha 1:
Da Linha 3, temos .
Substituímos na equação acima:
Da Linha 4, temos .
Substituímos na equação :

Resposta

A solução do sistema é , , e . O posto da matriz ampliada é 4, o posto da matriz dos coeficientes é 4 e o sistema é possível e determinado, sem grau de liberdade.

Exercícios relacionados

Encontre a solução da equação exata .
Resolva o sistema
usando o método de Gauss-Jordan.
Resolva a equação utilizando um fator integrante apropriado.
Encontre os geradores para os seguintes subespaços de :
(a) .
(b) .
© .
(d) .
(e) .