Encontre o gradiente de no ponto indicado. .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o gradiente da função no ponto . Isso está relacionado ao conteúdo de Cálculo Diferencial Multivariável, mais especificamente às derivadas parciais que compõem o gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a e . Ele nos mostra a direção de maior crescimento da função.
Então, para encontrar o gradiente, precisamos calcular:

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Temos:
Aplicando a regra da cadeia:
Calculando a derivada interna:
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Novamente, usando a regra da cadeia:
Calculando a derivada interna:
Então:

Passo 5

Com as derivadas parciais encontradas, vamos agora avaliar essas expressões no ponto .
Primeiro, calculamos no ponto:
Então:

Resposta

O gradiente de no ponto é:

Exercícios relacionados

Utilize a regra da cadeia para determinar . .
Localize todos os máximos e mínimos relativos e os pontos de sela, se houver. .
Use multiplicadores de Lagrange para obter os valores máximo e mínimo de sujeita à restrição dada. Além disso, encontre os pontos nos quais esses valores extremos ocorrem. .
Utilize a regra da cadeia para determinar . .