Utilize a regra da cadeia para determinar . .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para usarmos a regra da cadeia para encontrar , onde temos a função . A matéria envolvida aqui é o cálculo, especificamente a derivada e a regra da cadeia. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como as variáveis estão relacionadas e como aplicar a regra da cadeia para encontrar a derivada desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções envolvidas. Aqui, é uma função de , ou seja, . Mas a gente quer saber como muda em relação ao tempo , ou seja, . Isso significa que também depende de , então temos .

Passo 3

Agora, para encontrar , vamos usar a regra da cadeia. A regra da cadeia nos ajuda a derivar funções compostas, ou seja, funções que dependem de outras funções. A fórmula da regra da cadeia é:

Passo 4

Vamos calcular cada parte separadamente. Primeiro, a derivada de em relação a :

Passo 5

Agora, precisamos da derivada de em relação a , que é . Como não temos mais informações sobre como depende de , vamos deixar essa parte em termos de .

Passo 6

Finalmente, aplicando a regra da cadeia:

Resposta

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Use multiplicadores de Lagrange para obter os valores máximo e mínimo de sujeita à restrição dada. Além disso, encontre os pontos nos quais esses valores extremos ocorrem. .
Encontre o gradiente de no ponto indicado. .
Encontre ou . .
Localize todos os máximos e mínimos relativos e os pontos de sela, se houver. .