Use multiplicadores de Lagrange para obter os valores máximo e mínimo de sujeita à restrição dada. Além disso, encontre os pontos nos quais esses valores extremos ocorrem. .

Passo 1

Vamos entender o problema. Queremos encontrar os valores máximo e mínimo da função sujeitos à restrição . Para isso, vamos utilizar os multiplicadores de Lagrange, uma técnica que ajuda a otimizar uma função quando há uma condição que precisa ser satisfeita.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a função de Lagrange, que combina a função que queremos otimizar com a restrição. A função de Lagrange é dada por:
onde é a restrição e . Então, nossa função de Lagrange fica:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais da função de Lagrange em relação a , e e igualá-las a zero:
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a :

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações obtido:
  1. De , temos:
  1. De , substituindo da equação anterior:
Para que isso seja verdadeiro, ou ou .

Passo 5

Caso 1:
Se , da equação , temos . Substituindo na restrição:
Esse caso não satisfaz a restrição, então descartamos.
Caso 2:
Resolvendo para :

Passo 6

Vamos considerar :
  • Da equação :
  • Substituindo na restrição:
Então:
Os pontos são e .

Passo 7

Agora, considerando :
  • Da equação :
  • Substituindo na restrição:
Então:
Os pontos são e .

Passo 8

Agora, vamos calcular os valores da função nos pontos encontrados:

Resposta

Os valores extremos de são:
  • Máximo: nos pontos e
  • Mínimo: nos pontos e

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Encontre o gradiente de no ponto indicado. .
Utilize a regra da cadeia para determinar . .
Utilize a regra da cadeia para determinar . .
Encontre ou . .