Use multiplicadores de Lagrange para obter os valores máximo e mínimo de
sujeita à restrição dada. Além disso, encontre os pontos nos quais esses valores extremos ocorrem.
.
Passo 1
Vamos entender o problema. Queremos encontrar os valores máximo e mínimo da função
sujeitos à restrição
. Para isso, vamos utilizar os multiplicadores de Lagrange, uma técnica que ajuda a otimizar uma função quando há uma condição que precisa ser satisfeita.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a função de Lagrange, que combina a função que queremos otimizar com a restrição. A função de Lagrange é dada por:
onde
é a restrição e
. Então, nossa função de Lagrange fica:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais da função de Lagrange em relação a
,
e
e igualá-las a zero:
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
Passo 4
Vamos resolver o sistema de equações obtido:
- De
, temos:
- De
, substituindo da equação anterior:
Para que isso seja verdadeiro, ou
ou
.
Passo 5
Caso 1:
Se
, da equação
, temos
. Substituindo na restrição:
Esse caso não satisfaz a restrição, então descartamos.
Caso 2:
Resolvendo para
:
Passo 6
Vamos considerar
:
- Da equação
:
- Substituindo na restrição:
Então:
Os pontos são
e
.
Passo 7
Agora, considerando
:
- Da equação
:
- Substituindo na restrição:
Então:
Os pontos são
e
.
Passo 8
Agora, vamos calcular os valores da função
nos pontos encontrados:
Resposta
Os valores extremos de
são:
- Máximo:
nos pontos e - Mínimo:
nos pontos e
Exercícios relacionados
Encontre o gradiente de
no ponto indicado.
.
Utilize a regra da cadeia para determinar
.
.
Utilize a regra da cadeia para determinar
.
.
Encontre
ou
.
.