Encontre o gradiente para a função dada, no ponto
.
-
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o gradiente da função
no ponto
. O conteúdo que a gente vai usar aqui é cálculo de derivadas parciais para encontrar o gradiente, que basicamente nos dá a direção de maior aumento da função naquele ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função de duas variáveis,
, é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a
e a
. Ele é representado por:
Então, vamos começar calculando essas derivadas parciais.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Usando a regra do produto e a regra da cadeia:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Aqui, só precisamos usar a regra da cadeia:
Passo 5
Agora que temos as derivadas parciais, podemos montar o gradiente:
Passo 6
Vamos agora substituir o ponto
na expressão do gradiente:
Passo 7
Vamos simplificar os ângulos:
E sabemos que:
Passo 8
Substituindo esses valores:
Passo 9
Podemos fatorar
na primeira componente:
Resposta
Portanto, o gradiente da função no ponto
é:
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Encontre o gradiente para a função dada, no ponto
.
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