Encontre o gradiente para a função dada, no ponto .
  • .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o gradiente da função no ponto . O conteúdo que a gente vai usar aqui é cálculo de derivadas parciais para encontrar o gradiente, que basicamente nos dá a direção de maior aumento da função naquele ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função de duas variáveis, , é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a e a . Ele é representado por:
Então, vamos começar calculando essas derivadas parciais.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Usando a regra do produto e a regra da cadeia:
Sabemos que , então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Aqui, só precisamos usar a regra da cadeia:

Passo 5

Agora que temos as derivadas parciais, podemos montar o gradiente:

Passo 6

Vamos agora substituir o ponto na expressão do gradiente:

Passo 7

Vamos simplificar os ângulos:
E sabemos que:

Passo 8

Substituindo esses valores:

Passo 9

Podemos fatorar na primeira componente:

Resposta

Portanto, o gradiente da função no ponto é:

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