Encontre o gradiente da função dada e o valor máximo da derivada direcional no ponto indicado:
a)
, Resp.:
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Cálculo Diferencial, mais especificamente envolvendo gradiente e derivada direcional. Precisamos encontrar o gradiente da função
no ponto
e também descobrir o valor máximo da derivada direcional nesse ponto. Para isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais e entender o que é o gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função de várias variáveis é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função. Ele é formado pelas derivadas parciais da função em relação a cada uma das suas variáveis. No nosso caso, a função é
, então temos duas variáveis:
e
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Isso significa que tratamos
como constante e diferenciamos com respeito a
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Aqui, tratamos
como constante e diferenciamos com respeito a
:
Lembrando que a derivada de
em relação a
é
.
Passo 5
Com as derivadas parciais calculadas, podemos montar o vetor gradiente. O gradiente de
é dado por:
Passo 6
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
. Substituindo
e
nas derivadas parciais:
Então, o gradiente no ponto
fica:
Passo 7
Para encontrar o valor máximo da derivada direcional no ponto
, sabemos que esse valor é igual ao comprimento (ou magnitude) do vetor gradiente. A fórmula para a magnitude de um vetor
é:
Aplicando isso ao nosso gradiente:
Resposta
O gradiente da função
no ponto
é
e o valor máximo da derivada direcional nesse ponto é
.
Exercícios relacionados
Suponha que a temperatura em um ponto
do espaço seja dada por
onde T é medida em graus celsius e
e
em metros.
Qual é a taxa máxima de crescimento da temperatura no ponto
?
A temperatura em uma região do plano é dado por
.
b) Em que ponto a temperatura vale
, sabendo que a taxa de variação com relação a distância percorrida na direção do eixo y, sentido positivo, nesse ponto, é igual a
?
b) Em que ponto
Suponha que a temperatura em um ponto
do espaço seja dada por
onde T é medida em graus celsius e
e
em metros.
Em que direção no ponto
a temperatura cresce mais rapidamente?