Encontre o gradiente da função dada e o valor máximo da derivada direcional no ponto indicado:
a) , Resp.:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Cálculo Diferencial, mais especificamente envolvendo gradiente e derivada direcional. Precisamos encontrar o gradiente da função no ponto e também descobrir o valor máximo da derivada direcional nesse ponto. Para isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais e entender o que é o gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função de várias variáveis é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função. Ele é formado pelas derivadas parciais da função em relação a cada uma das suas variáveis. No nosso caso, a função é , então temos duas variáveis: e .

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Isso significa que tratamos como constante e diferenciamos com respeito a :

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Aqui, tratamos como constante e diferenciamos com respeito a :
Lembrando que a derivada de em relação a é .

Passo 5

Com as derivadas parciais calculadas, podemos montar o vetor gradiente. O gradiente de é dado por:

Passo 6

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto . Substituindo e nas derivadas parciais:
Então, o gradiente no ponto fica:

Passo 7

Para encontrar o valor máximo da derivada direcional no ponto , sabemos que esse valor é igual ao comprimento (ou magnitude) do vetor gradiente. A fórmula para a magnitude de um vetor é:
Aplicando isso ao nosso gradiente:

Resposta

O gradiente da função no ponto é e o valor máximo da derivada direcional nesse ponto é .

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