Encontre o gradiente da função dada e o valor máximo da derivada direcional no ponto indicado:
b)
Resp.:
b)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o gradiente da função
no ponto
e também determinar o valor máximo da derivada direcional nesse ponto. Para isso, vamos precisar entender como calcular o gradiente de uma função e como determinar a derivada direcional.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente da função. O gradiente de uma função de várias variáveis é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e suas componentes são as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis. Matematicamente, o gradiente de
é dado por:
Passo 3
Vamos calcular cada uma das derivadas parciais:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, juntando as derivadas parciais, o gradiente da função
é:
Passo 5
Para encontrar o valor máximo da derivada direcional no ponto
, sabemos que esse valor é igual à magnitude do gradiente da função nesse ponto. Ou seja:
Passo 6
Vamos calcular a magnitude do gradiente no ponto
:
Resposta
O gradiente da função é
e o valor máximo da derivada direcional no ponto
é 1.