Encontre o gradiente da função dada e o valor máximo da derivada direcional no ponto indicado:
b) f(x, y, z) = raiz(x^2 + y^2 + z^2), P(1, 4, 2) Resp.: (x * i + y * j + z * k) / raiz(x^2 + y^2 + z^2), 1

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o gradiente da função no ponto e também determinar o valor máximo da derivada direcional nesse ponto. Para isso, vamos precisar entender como calcular o gradiente de uma função e como determinar a derivada direcional.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função. O gradiente de uma função de várias variáveis é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e suas componentes são as derivadas parciais da função em relação a cada uma das variáveis. Matematicamente, o gradiente de é dado por:

Passo 3

Vamos calcular cada uma das derivadas parciais:
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :
  1. Derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, juntando as derivadas parciais, o gradiente da função é:

Passo 5

Para encontrar o valor máximo da derivada direcional no ponto , sabemos que esse valor é igual à magnitude do gradiente da função nesse ponto. Ou seja:
á

Passo 6

Vamos calcular a magnitude do gradiente no ponto :

Resposta

O gradiente da função é e o valor máximo da derivada direcional no ponto é 1.

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