Encontre o gradiente
e o Laplaciano
para o campo escalar
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o gradiente
e o Laplaciano
de um campo escalar dado por
. Isso está dentro da matéria de cálculo multivariável, onde estudamos como funções dependem de mais de uma variável. Para resolver, vamos precisar calcular derivadas parciais e entender o que são gradiente e Laplaciano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função escalar como
é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e sua magnitude mostra quão rápido a função está crescendo nessa direção. Para calcular o gradiente, precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a cada variável.
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada parcial de
em relação a
. Isso significa que tratamos
como uma constante e diferenciamos com respeito a
:
Passo 4
Agora, calculamos a derivada parcial de
em relação a
. Aqui, tratamos
como uma constante:
Passo 5
Com as derivadas parciais encontradas, podemos formar o gradiente
compondo essas derivadas em um vetor:
Passo 6
Agora, vamos encontrar o Laplaciano
. O Laplaciano é a soma das segundas derivadas parciais da função com respeito a cada variável. Ou seja:
Passo 7
Calculando a segunda derivada parcial de
em relação a
:
E a segunda derivada parcial de
em relação a
:
Resposta
O gradiente de
é
e o Laplaciano de
é
.
Exercícios relacionados
Verifique que o vetor posição
tem a propriedade enunciada:
Mostre ou justifique que a divergência é um operador linear, ou seja,
onde
são campos vetoriais e
e
são constantes reais.
Sabendo que
e
. Use a regra do quociente para determinar a derivada das funções abaixo. Em seguida, determine as assíntotas verticais de cada uma delas.
11a
Sabendo que e
. Use a regra do quociente para determinar a derivada das funções abaixo. Em seguida, determine as assíntotas verticais de cada uma delas.
(a)
11a
Sabendo que
(a)
Encontre o rotacional, rot
, se
for o campo vetorial definido por,