Encontre o gradiente nabla phi e o Laplaciano nabla^2 phi para o campo escalar
phi(x) = x^2 + x*y + y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o gradiente nabla phi e o Laplaciano nabla^2 phi de um campo escalar dado por . Isso está dentro da matéria de cálculo multivariável, onde estudamos como funções dependem de mais de uma variável. Para resolver, vamos precisar calcular derivadas parciais e entender o que são gradiente e Laplaciano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função escalar como phi(x, y) é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e sua magnitude mostra quão rápido a função está crescendo nessa direção. Para calcular o gradiente, precisamos encontrar as derivadas parciais de phi em relação a cada variável.

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada parcial de phi em relação a x. Isso significa que tratamos y como uma constante e diferenciamos com respeito a x:

Passo 4

Agora, calculamos a derivada parcial de phi em relação a y. Aqui, tratamos x como uma constante:

Passo 5

Com as derivadas parciais encontradas, podemos formar o gradiente nabla phi compondo essas derivadas em um vetor:

Passo 6

Agora, vamos encontrar o Laplaciano nabla^2 phi. O Laplaciano é a soma das segundas derivadas parciais da função com respeito a cada variável. Ou seja:

Passo 7

Calculando a segunda derivada parcial de phi em relação a x:
E a segunda derivada parcial de phi em relação a y:

Resposta

O gradiente de phi é e o Laplaciano de phi é .

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