Sabendo que
e
. Use a regra do quociente para determinar a derivada das funções abaixo. Em seguida, determine as assíntotas verticais de cada uma delas.
11a
Sabendo que
e
. Use a regra do quociente para determinar a derivada das funções abaixo. Em seguida, determine as assíntotas verticais de cada uma delas.
(a)
11a
Sabendo que
(a)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
. Queremos encontrar a derivada dessa função usando a regra do quociente e, depois, determinar as assíntotas verticais dessa função.
Conteúdo da matéria: Derivadas de funções utilizando a regra do quociente e análise de assíntotas verticais.
O que vamos precisar:
- Regra do quociente para derivadas.
- Conhecimento das funções trigonométricas
e . - Identificação dos pontos onde a função não está definida para encontrar as assíntotas verticais.
Passo 2
Vamos aplicar a regra do quociente para derivar
. A regra do quociente diz que, se temos uma função
, então a derivada
é:
No nosso caso,
e
. Precisamos encontrar
e
.
Passo 3
Calculando as derivadas de
e
:
-
, então . -
, então .
Passo 4
Agora, aplicamos a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Sabemos pela identidade trigonométrica que
, então:
Passo 5
Agora, vamos determinar as assíntotas verticais da função
. As assíntotas verticais ocorrem onde a função não está definida, ou seja, onde o denominador é zero.
Na função
, a função não está definida quando
.
As soluções para
são:
Resposta
A derivada de
é
. As assíntotas verticais de
ocorrem em
, onde
é um inteiro.
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e o Laplaciano
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tem a propriedade enunciada:
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, se
for o campo vetorial definido por,
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e
o campo vetorial