Sabendo que sen'(x) = cos(x) e cos(x) = -sen(x). Use a regra do quociente para determinar a derivada das funções abaixo. Em seguida, determine as assíntotas verticais de cada uma delas.
11a
Sabendo que sen'(x) = cos(x) e cos(x) = -sen(x). Use a regra do quociente para determinar a derivada das funções abaixo. Em seguida, determine as assíntotas verticais de cada uma delas.
(a) tan(x) = sen(x) / cos(x)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função . Queremos encontrar a derivada dessa função usando a regra do quociente e, depois, determinar as assíntotas verticais dessa função.
Conteúdo da matéria: Derivadas de funções utilizando a regra do quociente e análise de assíntotas verticais.
O que vamos precisar:
  • Regra do quociente para derivadas.
  • Conhecimento das funções trigonométricas e .
  • Identificação dos pontos onde a função não está definida para encontrar as assíntotas verticais.

Passo 2

Vamos aplicar a regra do quociente para derivar . A regra do quociente diz que, se temos uma função , então a derivada é:
No nosso caso, e . Precisamos encontrar e .

Passo 3

Calculando as derivadas de u(x) e v(x):
  • , então .
  • , então .

Passo 4

Agora, aplicamos a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Sabemos pela identidade trigonométrica que , então:

Passo 5

Agora, vamos determinar as assíntotas verticais da função . As assíntotas verticais ocorrem onde a função não está definida, ou seja, onde o denominador é zero.
Na função , a função não está definida quando .
As soluções para são:
é

Resposta

A derivada de é . As assíntotas verticais de ocorrem em , onde k é um inteiro.

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