Encontre o rotacional, rot f, se f for o campo vetorial definido por,
f(x, y, z) = < e^(2x), 3x^2yz, 2y^2z + x >

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o rotacional, também conhecido como curl, de um campo vetorial . Para isso, vamos precisar usar a fórmula do rotacional em cálculo vetorial, que nos ajuda a entender a “giro” ou a “rotatividade” de um campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de como calcular o rotacional de um campo vetorial. Se tivermos , então:
Então, vamos identificar e no nosso campo vetorial:

Passo 3

Vamos calcular cada uma das derivadas parciais necessárias para encontrar o rotacional.
Primeiro, calculamos e :
Agora, a primeira componente do rotacional é:

Passo 4

Em seguida, calculamos e :
Então, a segunda componente do rotacional é:

Passo 5

Por último, calculamos e :
Assim, a terceira componente do rotacional é:

Resposta

Portanto, o rotacional de é:

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