Encontre, se houver, os extremos locais e globais de no intervalo dado. Justifique as suas respostas. para

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os extremos locais e globais da função no intervalo de a . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, para identificar onde a função tem máximos e mínimos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos ajuda a identificar os pontos críticos, onde a função pode ter extremos.
A derivada de é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de onde ou onde a derivada não existe. No nosso caso, a derivada é um polinômio e sempre existe, então só precisamos resolver:
Fatorando:
Então, ou .

Passo 4

Vamos verificar quais desses pontos estão dentro do intervalo . O valor está fora, então só consideramos .

Passo 5

Agora, vamos analisar o comportamento da função nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo para identificar os extremos.
Calculando em , e :

Passo 6

Observando os valores:
  • Em , (menor valor)
  • Em , (maior valor)

Resposta

A função tem um mínimo local em com e um máximo global em com no intervalo .

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