Seja a função Determine o domínio de , a intersecção com os eixos e as simetrias (se houver).

Passo 1

Então, temos a função . A gente precisa descobrir três coisas sobre essa função:
  1. Domínio: Quais valores de a função está definida.
  2. Intersecções com os eixos: Onde a função cruza o eixo e o eixo .
  3. Simetrias: Se a função é simétrica em relação ao eixo , ao ponto de origem, ou não tem simetria.
Para resolver isso, vamos precisar saber sobre funções racionais, intersecções de gráficos e simetria de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio são todos os valores de para os quais a função está definida. Como temos uma fração, o denominador não pode ser zero, porque divisão por zero não é permitida.
Então, vamos resolver a equação do denominador igual a zero:

Passo 3

Para resolver a equação quadrática , podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde , e .
Substituindo os valores:
Então, as soluções são:

Passo 4

Como o denominador é igual a zero quando e , esses valores não estão no domínio da função.
Portanto, o domínio de é todos os números reais menos e :

Passo 5

Agora, vamos encontrar as intersecções com os eixos.
Intersecção com o eixo :
Para encontrar onde a função cruza o eixo , substituímos :
Então, a intersecção com o eixo ocorre no ponto .
Intersecção com o eixo :
Para encontrar onde a função cruza o eixo , igualamos :
Uma fração é igual a zero quando o numerador é zero e o denominador não é zero. Então, resolvemos:
As soluções são e .
Já vimos que também está no domínio, então a intersecção com o eixo ocorre nos pontos e .

Passo 6

Por fim, vamos verificar as simetrias da função.
Para isso, analisamos se a função é par, ímpar ou não tem simetria:
  • Função par:
  • Função ímpar:
Vamos calcular :
Comparando com , vemos que nem .
Portanto, a função não possui simetria.

Resposta

  • Domínio:
  • Intersecções com os eixos: e
  • Simetria: Não possui simetria

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