Seja a função
Determine o domínio de
, a intersecção com os eixos e as simetrias (se houver).
Passo 1
Então, temos a função
. A gente precisa descobrir três coisas sobre essa função:
- Domínio: Quais valores de
a função está definida. - Intersecções com os eixos: Onde a função cruza o eixo
e o eixo . - Simetrias: Se a função é simétrica em relação ao eixo
, ao ponto de origem, ou não tem simetria.
Para resolver isso, vamos precisar saber sobre funções racionais, intersecções de gráficos e simetria de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio são todos os valores de
para os quais a função está definida. Como temos uma fração, o denominador não pode ser zero, porque divisão por zero não é permitida.
Então, vamos resolver a equação do denominador igual a zero:
Passo 3
Para resolver a equação quadrática
, podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
.
Substituindo os valores:
Então, as soluções são:
Passo 4
Como o denominador
é igual a zero quando
e
, esses valores não estão no domínio da função.
Portanto, o domínio de
é todos os números reais menos
e
:
Passo 5
Agora, vamos encontrar as intersecções com os eixos.
Intersecção com o eixo
:
Para encontrar onde a função cruza o eixo
, substituímos
:
Então, a intersecção com o eixo
ocorre no ponto
.
Intersecção com o eixo
:
Para encontrar onde a função cruza o eixo
, igualamos
:
Uma fração é igual a zero quando o numerador é zero e o denominador não é zero. Então, resolvemos:
As soluções são
e
.
Já vimos que
também está no domínio, então a intersecção com o eixo
ocorre nos pontos
e
.
Passo 6
Por fim, vamos verificar as simetrias da função.
Para isso, analisamos se a função é par, ímpar ou não tem simetria:
- Função par:
- Função ímpar:
Vamos calcular
:
Comparando com
, vemos que
nem
.
Portanto, a função não possui simetria.
Resposta
- Domínio:
- Intersecções com os eixos:
e - Simetria: Não possui simetria
Exercícios relacionados
Seja a função
Determine as assíntotas de
(se houver).
Encontre, se houver, os extremos locais e globais de
no intervalo dado. Justifique as suas respostas.
para
Usando a derivação logarítmica, calcule a derivada da função
Seja a função
Determine as concavidades e pontos de inflexão de
.