Seja a função f(x) = (x^2 - 1) / (x^2 + x - 6) Determine as assíntotas de f(x) (se houver).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos as assíntotas da função . Isso envolve um pouco de estudo sobre funções racionais e assíntotas. Vamos precisar entender como identificar assíntotas verticais e horizontais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as assíntotas verticais. Essas ocorrem onde o denominador da função é zero, já que a função fica indefinida nesses pontos. Então, vamos resolver a equação do denominador:
Vamos fatorar esse polinômio para encontrar os valores de :
Portanto, as soluções são e . Essas são as possíveis assíntotas verticais da função.

Passo 3

Agora, vamos verificar se essas assíntotas verticais realmente existem. Para isso, precisamos garantir que o numerador não seja zero nos mesmos pontos onde o denominador é zero.
Vamos verificar :
Como o denominador é zero e o numerador não é zero, é uma assíntota vertical.
Agora, para :
Novamente, o denominador é zero e o numerador não é zero, então também é uma assíntota vertical.

Passo 4

Depois de identificar as assíntotas verticais, vamos procurar pelas assíntotas horizontais. Para funções racionais onde o grau do numerador e do denominador são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes principais.
Na função , tanto o numerador quanto o denominador são de grau 2. Então, a assíntota horizontal será:
Portanto, é a assíntota horizontal da função.

Resposta

As assíntotas da função são:
  • Assíntotas Verticais: e
  • Assíntota Horizontal:

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