Seja a função
Determine as assíntotas de
(se houver).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos as assíntotas da função
. Isso envolve um pouco de estudo sobre funções racionais e assíntotas. Vamos precisar entender como identificar assíntotas verticais e horizontais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as assíntotas verticais. Essas ocorrem onde o denominador da função é zero, já que a função fica indefinida nesses pontos. Então, vamos resolver a equação do denominador:
Vamos fatorar esse polinômio para encontrar os valores de
:
Portanto, as soluções são
e
. Essas são as possíveis assíntotas verticais da função.
Passo 3
Agora, vamos verificar se essas assíntotas verticais realmente existem. Para isso, precisamos garantir que o numerador não seja zero nos mesmos pontos onde o denominador é zero.
Vamos verificar
:
Como o denominador é zero e o numerador não é zero,
é uma assíntota vertical.
Agora, para
:
Novamente, o denominador é zero e o numerador não é zero, então
também é uma assíntota vertical.
Passo 4
Depois de identificar as assíntotas verticais, vamos procurar pelas assíntotas horizontais. Para funções racionais onde o grau do numerador e do denominador são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes principais.
Na função
, tanto o numerador quanto o denominador são de grau 2. Então, a assíntota horizontal será:
Portanto,
é a assíntota horizontal da função.
Resposta
As assíntotas da função
são:
- Assíntotas Verticais:
e - Assíntota Horizontal:
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