Usando a derivação logarítmica, calcule a derivada da função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivação usando diferenciação logarítmica! A gente precisa encontrar a derivada da função
. Para isso, vamos precisar lembrar das regras de derivação, propriedades de logaritmos e como aplicar a diferenciação logarítmica para funções complicadas.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação para facilitar a diferenciação. Isso significa que:
Passo 3
Agora, vamos usar as propriedades dos logaritmos para simplificar a expressão:
Aplicando isso, temos:
Simplificando mais:
Passo 4
Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Lembrando que a derivada de
em relação a
é
.
Passo 5
Vamos calcular cada derivada separadamente:
-
Para
, usamos a regra da cadeia: -
Para
: -
Para
, novamente usando a regra da cadeia:
Passo 6
Substituindo essas derivadas de volta na equação:
Simplificando:
Passo 7
Finalmente, isolamos
multiplicando ambos os lados por
:
Resposta
A derivada da função é:
Exercícios relacionados
Seja a função
Usando as informações dos itens anteriores, faça um esboço do gráfico de
.
Seja a função
Determine o domínio de
, a intersecção com os eixos e as simetrias (se houver).
Encontre, se houver, os extremos locais e globais de
no intervalo dado. Justifique as suas respostas.
para
Seja a função
Determine as assíntotas de
(se houver).