Usando a derivação logarítmica, calcule a derivada da função

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivação usando diferenciação logarítmica! A gente precisa encontrar a derivada da função . Para isso, vamos precisar lembrar das regras de derivação, propriedades de logaritmos e como aplicar a diferenciação logarítmica para funções complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação para facilitar a diferenciação. Isso significa que:

Passo 3

Agora, vamos usar as propriedades dos logaritmos para simplificar a expressão:
Aplicando isso, temos:
Simplificando mais:

Passo 4

Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembrando que a derivada de em relação a é .

Passo 5

Vamos calcular cada derivada separadamente:
  1. Para , usamos a regra da cadeia:
  2. Para :
  3. Para , novamente usando a regra da cadeia:

Passo 6

Substituindo essas derivadas de volta na equação:
Simplificando:

Passo 7

Finalmente, isolamos multiplicando ambos os lados por :

Resposta

A derivada da função é:

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