Seja a função Usando as informações dos itens anteriores, faça um esboço do gráfico de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a função e pede para fazermos um esboço do gráfico dessa função. Isso significa que vamos precisar entender como essa função se comporta, identificar seus pontos importantes como interceptações, assíntotas e qualquer outra característica relevante. Para isso, vamos usar conceitos de funções racionais, que envolvem frações onde o numerador e o denominador são polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função, ou seja, os valores de para os quais a função está definida. Como temos uma fração, o denominador não pode ser zero porque não podemos dividir por zero.
Então, vamos resolver a equação do denominador igual a zero:
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver por fatoração. Estamos procurando dois números que multiplicados dão -2 e somados dão -1. Esses números são -2 e +1.
Portanto:
Assim, as soluções são:
Então, o domínio de é todos os reais exceto e :

Passo 3

Agora, vamos simplificar a função se possível. Observamos que tanto o numerador quanto o denominador podem ser fatorados:
Numerador:
Denominador já fatoramos como:
Então, a função fica:
Não há fatores que se cancelam, então essa é a forma simplificada da função.

Passo 4

Vamos encontrar as interceptações do gráfico, ou seja, os pontos onde a função cruza os eixos e .
Interceptação com o eixo :
Para encontrar isso, substituímos na função:
Portanto, a interceptação com o eixo é no ponto .
Interceptações com o eixo :
Para encontrar, resolvemos :
Uma fração é zero quando o numerador é zero e o denominador não é zero. Então:
Verificamos se essas soluções estão no domínio:
  • está no domínio.
  • também está no domínio.
Então, as interceptações com o eixo são nos pontos e .

Passo 5

Vamos identificar as assíntotas da função.
Assíntotas verticais:
São as linhas verticais onde a função não está definida, ou seja, onde o denominador é zero.
Já encontramos que e fazem o denominador zero, então há assíntotas verticais nessas linhas:
Assíntotas horizontais:
Para encontrar as assíntotas horizontais, comparamos os graus do numerador e do denominador.
  • Grau do numerador: 2
  • Grau do denominador: 2
Quando os graus são iguais, a assíntota horizontal é o coeficiente líder do numerador dividido pelo coeficiente líder do denominador.
Aqui, ambos os coeficientes líderes são 1, então:
Portanto, há uma assíntota horizontal em .

Passo 6

Vamos analisar o comportamento da função em cada região definida pelas assíntotas verticais.
As assíntotas verticais e dividem o gráfico em três intervalos:
Em cada intervalo, vamos verificar o limite da função quando se aproxima das assíntotas e também o comportamento para valores grandes positivos e negativos.
Para :
  • À medida que se aproxima de -1 pela esquerda, o denominador se aproxima de zero negativo, então tende a .
  • Quando tende a menos infinito, o termo dominante é , então o gráfico se aproxima da assíntota horizontal .
Para :
  • À medida que se aproxima de -1 pela direita, o denominador se aproxima de zero positivo, então tende a .
  • À medida que se aproxima de 2 pela esquerda, o denominador se aproxima de zero negativo, então tende a .
Para :
  • À medida que se aproxima de 2 pela direita, o denominador se aproxima de zero positivo, então tende a .
  • Quando tende a mais infinito, novamente se aproxima da assíntota horizontal .

Passo 7

Com todas as informações coletadas, podemos esboçar o gráfico da função :
  • Interceptações: e
  • Assíntotas verticais: e
  • Assíntota horizontal:
  • Comportamento nos intervalos:
    • Para , a função tende a perto de e se aproxima de quando tende a .
    • Para , a função tende a perto de e a perto de .
    • Para , a função tende a perto de e se aproxima de quando tende a .
Com esses pontos e comportamentos, conseguimos desenhar o esboço do gráfico da função.

Resposta

O esboço do gráfico de apresenta interceptações nos pontos e , assíntotas verticais em e , e uma assíntota horizontal em . O gráfico se comporta de acordo com os intervalos definidos pelas assíntotas verticais, aproximando-se da assíntota horizontal à medida que tende a .
Esboço do gráfico de f(x)
(Nota: Como não posso desenhar diretamente, sugiro plotar a função utilizando ferramentas gráficas como o GeoGebra ou calculadoras gráficas para visualizar o esboço mencionado.)

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