Seja a função
Usando as informações dos itens anteriores, faça um esboço do gráfico de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a função
e pede para fazermos um esboço do gráfico dessa função. Isso significa que vamos precisar entender como essa função se comporta, identificar seus pontos importantes como interceptações, assíntotas e qualquer outra característica relevante. Para isso, vamos usar conceitos de funções racionais, que envolvem frações onde o numerador e o denominador são polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função, ou seja, os valores de
para os quais a função está definida. Como temos uma fração, o denominador não pode ser zero porque não podemos dividir por zero.
Então, vamos resolver a equação do denominador igual a zero:
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver por fatoração. Estamos procurando dois números que multiplicados dão -2 e somados dão -1. Esses números são -2 e +1.
Portanto:
Assim, as soluções são:
Então, o domínio de
é todos os reais exceto
e
:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a função se possível. Observamos que tanto o numerador quanto o denominador podem ser fatorados:
Numerador:
Denominador já fatoramos como:
Então, a função fica:
Não há fatores que se cancelam, então essa é a forma simplificada da função.
Passo 4
Vamos encontrar as interceptações do gráfico, ou seja, os pontos onde a função cruza os eixos
e
.
Interceptação com o eixo
:
Para encontrar isso, substituímos
na função:
Portanto, a interceptação com o eixo
é no ponto
.
Interceptações com o eixo
:
Para encontrar, resolvemos
:
Uma fração é zero quando o numerador é zero e o denominador não é zero. Então:
Verificamos se essas soluções estão no domínio:
-
está no domínio. -
também está no domínio.
Então, as interceptações com o eixo
são nos pontos
e
.
Passo 5
Vamos identificar as assíntotas da função.
Assíntotas verticais:
São as linhas verticais onde a função não está definida, ou seja, onde o denominador é zero.
Já encontramos que
e
fazem o denominador zero, então há assíntotas verticais nessas linhas:
Assíntotas horizontais:
Para encontrar as assíntotas horizontais, comparamos os graus do numerador e do denominador.
- Grau do numerador: 2
- Grau do denominador: 2
Quando os graus são iguais, a assíntota horizontal é o coeficiente líder do numerador dividido pelo coeficiente líder do denominador.
Aqui, ambos os coeficientes líderes são 1, então:
Portanto, há uma assíntota horizontal em
.
Passo 6
Vamos analisar o comportamento da função em cada região definida pelas assíntotas verticais.
As assíntotas verticais
e
dividem o gráfico em três intervalos:
Em cada intervalo, vamos verificar o limite da função quando
se aproxima das assíntotas e também o comportamento para valores grandes positivos e negativos.
Para
:
- À medida que
se aproxima de -1 pela esquerda, o denominador se aproxima de zero negativo, então tende a . - Quando
tende a menos infinito, o termo dominante é , então o gráfico se aproxima da assíntota horizontal .
Para
:
- À medida que
se aproxima de -1 pela direita, o denominador se aproxima de zero positivo, então tende a . - À medida que
se aproxima de 2 pela esquerda, o denominador se aproxima de zero negativo, então tende a .
Para
:
- À medida que
se aproxima de 2 pela direita, o denominador se aproxima de zero positivo, então tende a . - Quando
tende a mais infinito, novamente se aproxima da assíntota horizontal .
Passo 7
Com todas as informações coletadas, podemos esboçar o gráfico da função
:
- Interceptações:
e - Assíntotas verticais:
e - Assíntota horizontal:
- Comportamento nos intervalos:
- Para
, a função tende a perto de e se aproxima de quando tende a . - Para
, a função tende a perto de e a perto de . - Para
, a função tende a perto de e se aproxima de quando tende a .
- Para
Com esses pontos e comportamentos, conseguimos desenhar o esboço do gráfico da função.
Resposta
O esboço do gráfico de
apresenta interceptações nos pontos
e
, assíntotas verticais em
e
, e uma assíntota horizontal em
. O gráfico se comporta de acordo com os intervalos definidos pelas assíntotas verticais, aproximando-se da assíntota horizontal à medida que
tende a
.
![Esboço do gráfico de f(x)](https://i.imgur.com/SeuLinkAqui.png)
(Nota: Como não posso desenhar diretamente, sugiro plotar a função utilizando ferramentas gráficas como o GeoGebra ou calculadoras gráficas para visualizar o esboço mencionado.)
Exercícios relacionados
Seja a função
Determine o domínio de
, a intersecção com os eixos e as simetrias (se houver).
Encontre, se houver, os extremos locais e globais de
no intervalo dado. Justifique as suas respostas.
para
Usando a derivação logarítmica, calcule a derivada da função
Encontre, se houver, os extremos locais e globais de
no intervalo dado. Justifique as suas respostas.
para