Encontre as integrais indefinidas das funções Racionais abaixo.
-e^(-x)*(x^5 + 5*x^4 + 19*x^3 + 57*x^2 + 115*x + 115) + C

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral indefinida juntos! O enunciado pede para encontrar a integral da função racional que é . Aqui, a matéria que vamos usar é a integração por partes, que é super útil quando temos o produto de duas funções, como um polinômio e uma exponencial. Vamos precisar identificar quais partes vão ser u e dv para aplicar a fórmula.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Precisamos escolher u e dv de forma estratégica para que a integral resultante seja mais simples. Aqui, como temos um polinômio multiplicado por uma exponencial, uma boa escolha é deixar u ser o polinômio e dv ser a parte exponencial.

Passo 3

Vamos definir:
e
Agora, precisamos encontrar du e v.

Passo 4

Calculando du, que é a derivada de u:
E para encontrar v, integramos dv:
(Como estamos fazendo integração por partes, a constante de integração será adicionada no final, então podemos ignorar o C aqui.)

Passo 5

Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Agora, percebemos que ainda temos uma integral semelhante a resolver, mas com um polinômio de grau menor.

Passo 6

Repetimos o processo de integração por partes para a nova integral:
Escolhemos novamente:
e
Calculamos du e v:

Passo 7

Aplicando integração por partes novamente:
Continuamos esse processo de integração por partes reduzindo o grau do polinômio a cada passo.

Passo 8

Após aplicar integração por partes sucessivamente até que o polinômio seja totalmente integrado, combinamos todos os termos obtidos. O resultado final será a soma desses termos multiplicados por e^-x mais a constante de integração C.

Resposta

A integral indefinida da função dada é:

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