Encontre as integrais indefinidas das funções Racionais abaixo.
((x^2 + 1) * arctg(x))/2 - x/2 + C

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar a integral indefinida de uma função que é uma combinação de termos racionais e a função arco-tangente, que é representada por arctg(x). A função que vamos integrar é:
Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos um produto de duas funções, como parece ser o caso aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. A fórmula é:
Aqui, a gente escolhe quais partes da nossa função serão u e de forma que a integral simplifique. No nosso caso, vamos identificar u e :
  • Escolha de u: Vamos escolher porque derivar arco-tangente é simples.
  • Escolha de : Então,

Passo 3

Agora, vamos derivar u e integrar para encontrar e v:
  • Derivada de u:
  • Integral de :
    Vamos integrar cada termo separadamente:
    Efetuando a integração:
    Mas como estamos fazendo uma integral por partes, podemos ignorar a constante de integração aqui.

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a segunda integral:
Vamos dividir cada termo:
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:

Passo 7

Somando todas as integrais:
Simplificando os termos de logaritmo:

Resposta

Finalmente, a integral indefinida da função dada é:

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