Encontre as integrais indefinidas das funções Racionais abaixo.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar a integral indefinida de uma função que é uma combinação de termos racionais e a função arco-tangente, que é representada por . A função que vamos integrar é:
Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos um produto de duas funções, como parece ser o caso aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. A fórmula é:
Aqui, a gente escolhe quais partes da nossa função serão e de forma que a integral simplifique. No nosso caso, vamos identificar e :
  • Escolha de : Vamos escolher porque derivar arco-tangente é simples.
  • Escolha de : Então,

Passo 3

Agora, vamos derivar e integrar para encontrar e :
  • Derivada de :
  • Integral de :
    Vamos integrar cada termo separadamente:
    Efetuando a integração:
    Mas como estamos fazendo uma integral por partes, podemos ignorar a constante de integração aqui.

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a segunda integral:
Vamos dividir cada termo:
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:

Passo 7

Somando todas as integrais:
Simplificando os termos de logaritmo:

Resposta

Finalmente, a integral indefinida da função dada é:

Exercícios relacionados

Encontre as integrais indefinidas das funções Racionais abaixo.
Encontre as integrais indefinidas das funções Racionais abaixo.
Encontre as integrais indefinidas das funções Racionais abaixo.
Encontre as integrais indefinidas das funções Racionais abaixo.