Encontre as integrais indefinidas das funções Racionais abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar a integral indefinida de uma função que é uma combinação de termos racionais e a função arco-tangente, que é representada por
. A função que vamos integrar é:
Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos um produto de duas funções, como parece ser o caso aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. A fórmula é:
Aqui, a gente escolhe quais partes da nossa função serão
e
de forma que a integral simplifique. No nosso caso, vamos identificar
e
:
- Escolha de
: Vamos escolher porque derivar arco-tangente é simples. - Escolha de
: Então,
Passo 3
Agora, vamos derivar
e integrar
para encontrar
e
:
-
Derivada de
: -
Integral de
: Vamos integrar cada termo separadamente:Efetuando a integração:Mas como estamos fazendo uma integral por partes, podemos ignorar a constante de integração aqui.
Passo 4
Aplicando a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a segunda integral:
Vamos dividir cada termo:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos integrar termo a termo:
Passo 7
Somando todas as integrais:
Simplificando os termos de logaritmo:
Resposta
Finalmente, a integral indefinida da função dada é: