Encontre as integrais indefinidas das funções Racionais abaixo.
e^x (x^4 - 4 x^3 + 12 x^2 - 24 x + 24) + C

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a integral indefinida da função dada, que é uma combinação de um polinômio e a função exponencial. O conteúdo envolvido aqui é Cálculo Integral, especificamente a técnica de integração por partes. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra de integração por partes repetidamente até resolver toda a integral.

Passo 2

A integral que precisamos resolver é:
Vamos usar a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
Aqui, escolhemos partes da função para e .

Passo 3

Primeiro, identificamos e :
  • Escolha 1:
    • (um polinômio)
    • (a parte exponencial)
Calculamos e :
  • Derivada de :
  • Integral de :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores:

Passo 5

Observamos que ainda temos uma integral semelhante para resolver:
Vamos aplicar novamente a integração por partes a essa nova integral.
Escolhemos:
Calculando e :
  • Derivada de :
  • Integral de :

Passo 6

Aplicando a integração por partes novamente:

Passo 7

Continuamos o processo com a nova integral:
Mais uma vez, aplicamos integração por partes:
Calculando e :
  • Derivada de :
  • Integral de :

Passo 8

Aplicando integração por partes:

Passo 9

Agora, resolvemos a última integral:
Aplicamos integração por partes mais uma vez:
Calculando e :
  • Derivada de :
  • Integral de :

Passo 10

Aplicando a última integração por partes:
A integral restante é simples:

Passo 11

Agora, substituímos todas as integrais resolvidas de volta nas equações anteriores:
Substituindo de volta:
Simplificando:
Continuando a substituir:
Simplificando:
Finalmente, substituindo na primeira equação:
Simplificando:

Resposta

A integral indefinida é:

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