Encontre as integrais indefinidas das funções Racionais abaixo.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a integral indefinida da função dada, que é uma combinação de um polinômio e a função exponencial. O conteúdo envolvido aqui é Cálculo Integral, especificamente a técnica de integração por partes. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra de integração por partes repetidamente até resolver toda a integral.
Passo 2
A integral que precisamos resolver é:
Vamos usar a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
Aqui, escolhemos partes da função para
e
.
Passo 3
Primeiro, identificamos
e
:
- Escolha 1:
-
(um polinômio) -
(a parte exponencial)
-
Calculamos
e
:
- Derivada de
: - Integral de
:
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores:
Passo 5
Observamos que ainda temos uma integral semelhante para resolver:
Vamos aplicar novamente a integração por partes a essa nova integral.
Escolhemos:
Calculando
e
:
- Derivada de
: - Integral de
:
Passo 6
Aplicando a integração por partes novamente:
Passo 7
Continuamos o processo com a nova integral:
Mais uma vez, aplicamos integração por partes:
Calculando
e
:
- Derivada de
: - Integral de
:
Passo 8
Aplicando integração por partes:
Passo 9
Agora, resolvemos a última integral:
Aplicamos integração por partes mais uma vez:
Calculando
e
:
- Derivada de
: - Integral de
:
Passo 10
Aplicando a última integração por partes:
A integral restante é simples:
Passo 11
Agora, substituímos todas as integrais resolvidas de volta nas equações anteriores:
Substituindo de volta:
Simplificando:
Continuando a substituir:
Simplificando:
Finalmente, substituindo na primeira equação:
Simplificando:
Resposta
A integral indefinida é: