Encontre as integrais indefinidas das funções Racionais abaixo.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a integral indefinida da função dada, que é uma combinação de um polinômio e a função exponencial. O conteúdo envolvido aqui é Cálculo Integral, especificamente a técnica de integração por partes. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra de integração por partes repetidamente até resolver toda a integral.

Passo 2

A integral que precisamos resolver é:
Vamos usar a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
Aqui, escolhemos partes da função para e .

Passo 3

Primeiro, identificamos e :
  • Escolha 1:
    • (um polinômio)
    • (a parte exponencial)
Calculamos e :
  • Derivada de :
  • Integral de :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores:

Passo 5

Observamos que ainda temos uma integral semelhante para resolver:
Vamos aplicar novamente a integração por partes a essa nova integral.
Escolhemos:
Calculando e :
  • Derivada de :
  • Integral de :

Passo 6

Aplicando a integração por partes novamente:

Passo 7

Continuamos o processo com a nova integral:
Mais uma vez, aplicamos integração por partes:
Calculando e :
  • Derivada de :
  • Integral de :

Passo 8

Aplicando integração por partes:

Passo 9

Agora, resolvemos a última integral:
Aplicamos integração por partes mais uma vez:
Calculando e :
  • Derivada de :
  • Integral de :

Passo 10

Aplicando a última integração por partes:
A integral restante é simples:

Passo 11

Agora, substituímos todas as integrais resolvidas de volta nas equações anteriores:
Substituindo de volta:
Simplificando:
Continuando a substituir:
Simplificando:
Finalmente, substituindo na primeira equação:
Simplificando:

Resposta

A integral indefinida é:

Exercícios relacionados

Encontre as integrais indefinidas das funções Racionais abaixo.
Encontre as integrais indefinidas das funções Racionais abaixo.
Encontre as integrais indefinidas das funções Racionais abaixo.
Encontre as integrais indefinidas das funções Racionais abaixo.