Sejam e soluções da EDO
onde . Prove que
(b) Se e atingem máximo ou mínimo em um mesmo ponto , então elas não podem formar um conjunto fundamental de soluções nesse intervalo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente provar que, se duas soluções e de uma equação diferencial atingem um máximo ou mínimo no mesmo ponto , elas não podem formar um conjunto fundamental de soluções nesse intervalo. Isso está relacionado ao estudo de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) de segunda ordem e à noção de soluções linearmente independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um conjunto fundamental de soluções. Em uma EDO de segunda ordem, um conjunto fundamental é formado por duas soluções que são linearmente independentes em todo o intervalo considerado. Isso significa que nenhuma das soluções pode ser escrita como múltiplo da outra.

Passo 3

Para verificar a independência linear das soluções e , usamos o Wronskiano, que é dado por:
Se o Wronskiano for diferente de zero em algum ponto do intervalo, as soluções são linearmente independentes.

Passo 4

Agora, vamos analisar o que acontece se ambas as soluções e atingem um máximo ou mínimo no mesmo ponto . Nesse ponto, as derivadas primeiras das duas soluções são zero:

Passo 5

Substituindo esses valores no Wronskiano, temos:
Então, o Wronskiano é zero em .

Passo 6

Segundo o Teorema de Abel, para uma EDO de segunda ordem, o Wronskiano não pode ter mais de uma raiz no intervalo a menos que seja identicamente zero. Se , isso implica que o Wronskiano é zero em todo o intervalo, o que significa que as soluções são linearmente dependentes.

Passo 7

Como as soluções e são linearmente dependentes, elas não podem formar um conjunto fundamental de soluções no intervalo considerado.

Resposta

Portanto, se as soluções e atingem um máximo ou mínimo no mesmo ponto , elas não podem formar um conjunto fundamental de soluções nesse intervalo.

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