Sejam
e
soluções da EDO
onde
. Prove que
(b) Se
e
atingem máximo ou mínimo em um mesmo ponto
, então elas não podem formar um conjunto fundamental de soluções nesse intervalo.
(b) Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente provar que, se duas soluções
e
de uma equação diferencial atingem um máximo ou mínimo no mesmo ponto
, elas não podem formar um conjunto fundamental de soluções nesse intervalo. Isso está relacionado ao estudo de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) de segunda ordem e à noção de soluções linearmente independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um conjunto fundamental de soluções. Em uma EDO de segunda ordem, um conjunto fundamental é formado por duas soluções que são linearmente independentes em todo o intervalo considerado. Isso significa que nenhuma das soluções pode ser escrita como múltiplo da outra.
Passo 3
Para verificar a independência linear das soluções
e
, usamos o Wronskiano, que é dado por:
Se o Wronskiano for diferente de zero em algum ponto do intervalo, as soluções são linearmente independentes.
Passo 4
Agora, vamos analisar o que acontece se ambas as soluções
e
atingem um máximo ou mínimo no mesmo ponto
. Nesse ponto, as derivadas primeiras das duas soluções são zero:
Passo 5
Substituindo esses valores no Wronskiano, temos:
Então, o Wronskiano é zero em
.
Passo 6
Segundo o Teorema de Abel, para uma EDO de segunda ordem, o Wronskiano não pode ter mais de uma raiz no intervalo a menos que seja identicamente zero. Se
, isso implica que o Wronskiano é zero em todo o intervalo, o que significa que as soluções são linearmente dependentes.
Passo 7
Como as soluções
e
são linearmente dependentes, elas não podem formar um conjunto fundamental de soluções no intervalo considerado.
Resposta
Portanto, se as soluções
e
atingem um máximo ou mínimo no mesmo ponto
, elas não podem formar um conjunto fundamental de soluções nesse intervalo.