Encontre os integrais de linha sobre curvas:
integralC x^2 d s, onde C é o segmento de (0,2) a (4,3);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular um integral de linha, que é basicamente somar os valores de uma função ao longo de uma curva. No caso, a função que vamos integrar é e a curva é o segmento de reta que vai do ponto até . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de integrais de linha e parametrização de curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva x(t) = 0 + (4 - 0)t = 4t . Como y(t) = 2 + (3 - 2)t = 2 + t é um segmento de reta de a , podemos usar uma parametrização linear. Vamos definir um parâmetro que varia de 0 a 1, onde corresponde ao ponto e ao ponto .
As equações paramétricas ficam assim:

Passo 3

Agora, precisamos calcular o diferencial de comprimento ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt . A fórmula para dxdt = 4 em termos de dydt = 1 é:
ds = raiz4^2 + 1^2 , dt = raiz16 + 1 , dt = raiz17 , dt
Vamos calcular as derivadas:
Então,

Passo 4

Agora que temos integralC x^2 , ds = integral0^1 (x(t))^2 cdot ds , integral0^1 (4t)^2 cdot raiz17 , dt = raiz17 integral0^1 16t^2 , dt e , podemos montar o integral de linha:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Vamos resolver o integral:
raiz17 integral0^1 16t^2 , dt = 16raiz17 integral0^1 t^2 , dt
A integral de integral0^1 t^2 , dt = [t^33]0^1 = 13 de 0 a 1 é:
16raiz17 cdot 13 = 16raiz173
Então:

Resposta

O valor do integral de linha é .

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