Encontre os integrais de linha sobre curvas:
, onde
é o segmento de
a
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular um integral de linha, que é basicamente somar os valores de uma função ao longo de uma curva. No caso, a função que vamos integrar é
e a curva
é o segmento de reta que vai do ponto
até
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo de integrais de linha e parametrização de curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva
. Como
é um segmento de reta de
a
, podemos usar uma parametrização linear. Vamos definir um parâmetro
que varia de 0 a 1, onde
corresponde ao ponto
e
ao ponto
.
As equações paramétricas ficam assim:
Passo 3
Agora, precisamos calcular o diferencial de comprimento
. A fórmula para
em termos de
é:
Vamos calcular as derivadas:
Então,
Passo 4
Agora que temos
,
e
, podemos montar o integral de linha:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 5
Vamos resolver o integral:
A integral de
de 0 a 1 é:
Então:
Resposta
O valor do integral de linha é
.
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A função
é dada como uma função implícita. Encontre
Encontre os máximos locais, mínimos locais e pontos de sela nas funções:
.