Encontre a integral que calcula o volume do sólido de revoluçāo obtido ao girar a regiāo
delimitada pelas curvas
e
em torno do eixo
usando o Mètodo das Cascas.
Escolha uma opc̣ão:
O.
b.
c.
d.
日.
f.
Escolha uma opc̣ão:
O.
b.
c.
d.
日.
f.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a integral que calcula o volume de um sólido de revolução. Esse sólido é formado ao girar a região
delimitada pelas curvas
,
e
em torno da linha vertical
. Vamos usar o Método das Cascas para resolver isso. Para isso, precisamos entender como aplicar esse método para encontrar o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar as curvas e encontrar os pontos de interseção para determinar os limites de integração.
Vamos igualar as funções para encontrar os pontos de interseção:
-
Igualar
: -
Igualar
:
Pelo primeiro ponto de interseção, resolvendo a equação
, encontramos
. Portanto, os limites de integração serão de
a
.
Passo 3
No Método das Cascas, a fórmula para o volume
é:
Onde:
-
é a distância do elemento de área ao eixo de rotação. -
é a altura da casca, que corresponde à diferença entre as funções que delimitam a região.
Como estamos girando em torno da linha
, a distância
é
.
Passo 4
Agora, vamos identificar as alturas
das cascas em diferentes intervalos de
:
-
Para
entre e : - A função superior é
. - A função inferior é
. - Portanto,
.
- A função superior é
-
Para
entre e : - A função superior é
. - A função inferior é
. - Portanto,
.
- A função superior é
Passo 5
Agora, vamos montar a integral usando os limites e as alturas identificadas:
Aqui,
porque estamos girando em torno de
.
Passo 6
Comparando com as opções fornecidas, percebemos que a expressão que montamos corresponde à opção c:
Resposta
Opção c.