Encontre a integral que calcula o volume do sólido de revoluçāo obtido ao girar a regiāo S delimitada pelas curvas y=x^3+1, y=x2+32 e y=-x2+1 em torno do eixo x=2 usando o Mètodo das Cascas.
Escolha uma opc̣ão:
O. 2 pi integral-1^1(x-2)(x+32+x^3) d x
b. 2 pi integral-1 / 2^0 x(x2+12) d x+2 pi integral0^1 x(x2+12-x^3) d x
c. 2 pi integral-1 / 2^0(2-x)(x+12) d x+2 pi integral0^1(2-x)(x2+12-x^3) d x
d. 2 pi integral-1^1 x(x-12+x^3) d x
日. 2 pi integral-1^0(2+x)(x2+32) d x+2 pi integral0^1(2+x)(x2+32+x^3) d x
f. 2 pi integral-1 / 2^0(2+x)(x+12) d x+2 pi integral0^1(2+x)(x2+12+x^3) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a integral que calcula o volume de um sólido de revolução. Esse sólido é formado ao girar a região delimitada pelas curvas , e em torno da linha vertical . Vamos usar o Método das Cascas para resolver isso. Para isso, precisamos entender como aplicar esse método para encontrar o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar as curvas e encontrar os pontos de interseção para determinar os limites de integração.
  • x^3 + 1 = x2 + 32 Rightarrow x^3 - x2 - 12 = 0
  • x2 + 32 = -x2 + 1 Rightarrow x + 3 = -x + 2 Rightarrow 2x = -1 Rightarrow x = -12
Vamos igualar as funções para encontrar os pontos de interseção:
  1. Igualar :
  2. Igualar :
Pelo primeiro ponto de interseção, resolvendo a equação , encontramos . Portanto, os limites de integração serão de a .

Passo 3

No Método das Cascas, a fórmula para o volume V = 2pi integrala^b (r(x)) cdot (h(x)) , dx é:
Onde:
  • é a distância do elemento de área ao eixo de rotação.
  • é a altura da casca, que corresponde à diferença entre as funções que delimitam a região.
Como estamos girando em torno da linha , a distância é .

Passo 4

Agora, vamos identificar as alturas das cascas em diferentes intervalos de :
  1. Para entre e :
    • A função superior é .
    • A função inferior é .
    • Portanto, .
  2. Para entre e :
    • A função superior é .
    • A função inferior é .
    • Portanto, .

Passo 5

Agora, vamos montar a integral usando os limites e as alturas identificadas:
V = 2pi [ integral-1/2^0 (2 - x) ( x2 + 12 ) , dx + integral0^1 (2 - x) ( x2 + 12 - x^3 ) , dx ]
Aqui, porque estamos girando em torno de .

Passo 6

Comparando com as opções fornecidas, percebemos que a expressão que montamos corresponde à opção c:
2 pi integral-1 / 2^0(2-x)(x+12) d x + 2 pi integral0^1(2-x)(x2+12-x^3) d x

Resposta

Opção c.

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