Uma função
é ímpar se
para todo
. Supondo que
é contínua e ímpar, resolva os itens abaixo:
(a) Use a mudança de variáveis
para concluir que
(a) Use a mudança de variáveis
Passo 1
Vamos lá! O enunciado fala sobre funções ímpares e integrais. Sabemos que uma função
é ímpar se
para todo
no intervalo
. Nosso objetivo aqui é usar uma mudança de variável, especificamente
, para provar que:
Passo 2
Primeiro, vamos entender a mudança de variável que vamos usar. Definimos
. Isso significa que quando
varia de
a
,
varia de
a
. Precisamos também calcular
em termos de
. Derivando ambos os lados de
, temos:
Passo 3
Agora, vamos substituir
por
na integral original. A integral que queremos transformar é:
Substituindo
e
, ficamos com:
Passo 4
Vamos simplificar os limites de integração e o sinal. Trocar os limites de
de
a
para
a
inverte o sinal da integral:
Passo 5
Agora, usamos a propriedade de que
é ímpar, ou seja,
. Substituindo isso na integral:
Resposta
Portanto, mostramos que:
Exercícios relacionados
Qual das alternativas abaixo indica a domínio da função
?
Escolla uma opçāo:
a.
b.
C.
Od.
e.
○f
O g.
h.
Escolla uma opçāo:
a.
b.
C.
Od.
e.
○f
O g.
h.
Encontre a integral que calcula o volume do sólido de revoluçāo obtido ao girar a regiāo
delimitada pelas curvas
e
em torno do eixo
usando o Mètodo das Cascas.
Escolha uma opc̣ão:
O.
b.
c.
d.
日.
f.
Escolha uma opc̣ão:
O.
b.
c.
d.
日.
f.
(2,0 pontos) Analise a série a seguir usando o Critério do Termo Geral. Caso seja inconclusivo, use outro teste.
(3,0 pontos) Usando integral dupla, calcular o volume do sólido delimitado pelo parabolóide
e pelos três planos coordenados.