Uma função f:[-a, a] é ímpar se f(-x)=-f(x) para todo x in[-a, a]. Supondo que f é contínua e ímpar, resolva os itens abaixo:
(a) Use a mudança de variáveis y=-x para concluir que
integral-a^0 f(x) d x=-integral0^a f(y) d y

Passo 1

Vamos lá! O enunciado fala sobre funções ímpares e integrais. Sabemos que uma função f é ímpar se f(-x) = -f(x) para todo x no intervalo [-a, a]. Nosso objetivo aqui é usar uma mudança de variável, especificamente y = -x, para provar que:
integral-a^0 f(x) , dx = -integral0^a f(y) , dy

Passo 2

Primeiro, vamos entender a mudança de variável que vamos usar. Definimos y = -x. Isso significa que quando x varia de -a a 0, y varia de a a 0. Precisamos também calcular dx em termos de dy. Derivando ambos os lados de y = -x, temos:
dydx = -1 implies dx = -dy

Passo 3

Agora, vamos substituir x por -y na integral original. A integral que queremos transformar é:
integral-a^0 f(x) , dx
Substituindo x = -y e dx = -dy, ficamos com:
integralx=-a^x=0 f(x) , dx = integraly=a^y=0 f(-y) , (-dy)

Passo 4

Vamos simplificar os limites de integração e o sinal. Trocar os limites de y de a a 0 para 0 a a inverte o sinal da integral:
integraly=a^y=0 f(-y) , (-dy) = integral0^a f(-y) , dy

Passo 5

Agora, usamos a propriedade de que f é ímpar, ou seja, f(-y) = -f(y). Substituindo isso na integral:
integral0^a f(-y) , dy = integral0^a -f(y) , dy = -integral0^a f(y) , dy

Resposta

Portanto, mostramos que:
integral-a^0 f(x) , dx = -integral0^a f(y) , dy

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