Uma função é ímpar se para todo . Supondo que é contínua e ímpar, resolva os itens abaixo:
(a) Use a mudança de variáveis para concluir que

Passo 1

Vamos lá! O enunciado fala sobre funções ímpares e integrais. Sabemos que uma função é ímpar se para todo no intervalo . Nosso objetivo aqui é usar uma mudança de variável, especificamente , para provar que:

Passo 2

Primeiro, vamos entender a mudança de variável que vamos usar. Definimos . Isso significa que quando varia de a , varia de a . Precisamos também calcular em termos de . Derivando ambos os lados de , temos:

Passo 3

Agora, vamos substituir por na integral original. A integral que queremos transformar é:
Substituindo e , ficamos com:

Passo 4

Vamos simplificar os limites de integração e o sinal. Trocar os limites de de a para a inverte o sinal da integral:

Passo 5

Agora, usamos a propriedade de que é ímpar, ou seja, . Substituindo isso na integral:

Resposta

Portanto, mostramos que:

Exercícios relacionados

Qual das alternativas abaixo indica a domínio da função ?
Escolla uma opçāo:
a.
b.
C.
Od.
e.
○f
O g.
h.
Encontre a integral que calcula o volume do sólido de revoluçāo obtido ao girar a regiāo delimitada pelas curvas e em torno do eixo usando o Mètodo das Cascas.
Escolha uma opc̣ão:
O.
b.
c.
d.
日.
f.
(2,0 pontos) Analise a série a seguir usando o Critério do Termo Geral. Caso seja inconclusivo, use outro teste.
(3,0 pontos) Usando integral dupla, calcular o volume do sólido delimitado pelo parabolóide e pelos três planos coordenados.