Uma função
é ímpar se
para todo
. Supondo que
é contínua e ímpar, resolva os itens abaixo:
(a) Use a mudança de variáveis
para concluir que
(a) Use a mudança de variáveis
Passo 1
Vamos lá! O enunciado fala sobre funções ímpares e integrais. Sabemos que uma função
é ímpar se
para todo
no intervalo
. Nosso objetivo aqui é usar uma mudança de variável, especificamente
, para provar que:
Passo 2
Primeiro, vamos entender a mudança de variável que vamos usar. Definimos
. Isso significa que quando
varia de
a
,
varia de
a
. Precisamos também calcular
em termos de
. Derivando ambos os lados de
, temos:
Passo 3
Agora, vamos substituir
por
na integral original. A integral que queremos transformar é:
Substituindo
e
, ficamos com:
Passo 4
Vamos simplificar os limites de integração e o sinal. Trocar os limites de
de
a
para
a
inverte o sinal da integral:
Passo 5
Agora, usamos a propriedade de que
é ímpar, ou seja,
. Substituindo isso na integral:
Resposta
Portanto, mostramos que: