Verifique se o subconjunto
é um subespaço do espaço vetorial
:
©
e
©
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos verificar se o subconjunto
é um subespaço do espaço vetorial
. Para isso, precisamos lembrar o que define um subespaço vetorial: ele deve conter o vetor zero, ser fechado sob adição de vetores e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
O primeiro passo é verificar se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Substituindo na definição de
:
Ambas as condições são satisfeitas, então o vetor zero pertence a
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer
e
em
, a soma
também deve estar em
.
Sabemos que em
:
Então, na soma:
Portanto,
satisfaz as condições de
, mostrando que
é fechado sob adição.
Passo 4
Por último, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Ou seja, para qualquer vetor
em
e qualquer escalar
, o vetor
também deve estar em
.
Sabemos que em
:
Então, ao multiplicar por
:
Portanto,
também satisfaz as condições de
, mostrando que
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Sim, o subconjunto
é um subespaço do espaço vetorial
.
Exercícios relacionados
(a) Mostre que o conjunto
é linearmente dependentes.
Se
é uma transformação linear entre espaços vetoriais, o Núcleo de
é definido como sendo o conjunto de todos os vetores
em
tal que
. Para
, de
, o Núcleo de
é representado, geometricamente, pela seguinte forma geométrica descrita pela respectiva equação:
a) reta,
b) plano,
c) reta, .
d) plano,
a) reta,
b) plano,
c) reta,
d) plano,
Em
, mantenhamos a definição do produto
de um número por um vetor mas modifiquemos, de 3 maneiras diferentes, a definição da soma
dos vetores
e
. Em cada tentativa, dizer quais axiomas de espaço vetorial continuam válidos e quais são violados:
(1) ;
(2) ;
(3) .
(1)
(2)
(3)
Encontre a integral indefinida da função
em relação a
e assinale a alternativa correta.
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)