Encontre a integral indefinida integral f(x) d x para cada função abaixo. Se necessário, use a técnica da substituição,
integral e^x(2+e^x)^5 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integrado, especificamente usando a técnica de substituição para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para simplificar a integral. Observando o denominador u = 2 + e^x , uma boa escolha é definir:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = e^x implies du = e^x dx em relação a para substituir na integral. Derivando ambos os lados:

Passo 4

Substituímos integral e^x(2+e^x)^5 d x = integral duu^5 e na integral original:

Passo 5

Agora, a integral ficou mais simples:
integral u^-5 du
Integrando integral u^-5 du = u^-4-4 + C = -14 u^-4 + C em relação a :

Passo 6

Finalmente, substituímos -14 (2 + e^x)^-4 + C de volta para a expressão original:

Resposta

integral e^x(2+e^x)^5 d x = -14 (2 + e^x)^-4 + C

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