Resolva as integrais:
integral x-1(x+1)^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que resolver a integral . Esse exercício envolve integrais de funções racionais, e para resolvê-lo, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição. Basicamente, vamos simplificar a expressão para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para tornar a integral mais simples. Vamos definir:
u = x + 1
Com isso, precisamos achar a derivada de dudx = 1 Rightarrow du = dx em relação a :
Então, é simplesmente , o que facilita nossa substituição.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a integral em termos de integral (u - 1) - 1u^3 , du = integral u - 2u^3 , du . Substituindo e , também precisamos expressar em termos de . Como , a integral fica:

Passo 4

Vamos simplificar a fração:
u - 2u^3 = uu^3 - 2u^3 = u^-2 - 2u^-3
Agora, a integral fica:
integral ( u^-2 - 2u^-3 ) , du
Vamos integrar termo a termo:
integral u^-2 , du = -u^-1 + C = -1u + C
integral -2u^-3 , du = -2 cdot ( -12 u^-2 ) + C = u^-2 + C = 1u^2 + C
Então, juntando tudo:
integral ( u^-2 - 2u^-3 ) , du = -1u + 1u^2 + C

Passo 5

Agora, vamos voltar à variável original -1x + 1 + 1(x + 1)^2 + C . Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A integral de -1x + 1 + 1(x + 1)^2 + C é:

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Encontre a integral indefinida integral f(x) d x para cada função abaixo. Se necessário, use a técnica da substituição,
integral e^x(2+e^x)^5 d x
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integral x^3x^2+2 x-3 d x
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integral 5 xx^2-25 d x
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