Resolva as integrais:
integral x^3x^2+2 x-3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício tá na área de Cálculo Integral, especificamente envolvendo integrais racionais onde o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador. Para resolver, vamos precisar fazer uma divisão polinomial e depois usar técnicas de frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o polinômio do numerador pelo denominador. Isso porque o grau de x^3x^2+2 x-3 = x - 2 + 7x - 6x^2+2 x-3 é maior que o de integral x^3x^2+2 x-3 , dx = integral x , dx - 2 integral dx + integral 7x - 6x^2+2 x-3 , dx . Fazendo a divisão:
Então, a integral fica dividida em três partes:

Passo 3

Vamos resolver cada parte separadamente. Começando pelas integrais mais simples:
integral x , dx = 12x^2 + C
-2 integral dx = -2x + C
Agora, vamos focar na parte mais complicada: .

Passo 4

Para resolver essa integral, usamos o método das frações parciais. Primeiro, calculamos a derivada do denominador:
ddx(x^2 + 2x - 3) = 2x + 2
Observamos que o numerador 7x - 6 = 72(2x + 2) - 13 pode ser reescrito em termos da derivada do denominador:
integral 7x - 6x^2+2 x-3 , dx = 72 integral 2x + 2x^2+2 x-3 , dx - 13 integral 1x^2+2 x-3 , dx
Então, a integral fica:

Passo 5

Resolvendo cada parte:
  1. Para 72 ln|x^2 + 2x - 3| + C , fazemos x^2 + 2x - 3 = (x + 1)^2 - 4 , então -13 cdot 14 ln|x - 1x + 3| + C = -134 ln|x - 1x + 3| + C . A integral vira:
  1. Para , completamos o quadrado no denominador:
Então, a integral fica:

Resposta

Juntando tudo, a integral é:
integral x^3x^2+2 x-3 , dx = 12x^2 - 2x + 72 ln|x^2 + 2x - 3| - 134 ln|x - 1x + 3| + C

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