Resolva as integrais:
integral 5 xx^2-25 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral 5xx^2-25 dx. Esse exercício envolve os conceitos de integração por substituição. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da integral que pode ser substituída por uma nova variável, facilitando o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos observar o denominador da fração: x^2 - 25. Se pensarmos em derivar isso em relação a x, obtemos 2x. Notamos que o numerador é 5x, que é uma constante múltiplo de x. Isso sugere que podemos usar a substituição para simplificar a integral.

Passo 3

Vamos definir uma nova variável para substituir o denominador:
u = x^2 - 25
Agora, derivamos u em relação a x para encontrar du:
dudx = 2x implies du = 2x , dx
Perceba que na nossa integral original temos 5x , dx, e aqui temos 2x , dx. Precisamos ajustar isso para fazer a substituição funcionar.

Passo 4

Vamos resolver du = 2x , dx para encontrar x , dx:
x , dx = du2
Agora, substituímos na integral:
integral 5xx^2-25 dx = 5 integral x , dxu = 5 integral du2u = 52 integral duu

Passo 5

A integral integral duu é uma integral básica que resulta no logaritmo natural de u:
52 integral duu = 52 ln|u| + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Agora, substituímos u de volta pela expressão original em termos de x:
52 ln|u| + C = 52 ln|x^2 - 25| + C

Resposta

A integral integral 5xx^2-25 dx é igual a 52 ln|x^2 - 25| + C, onde C é a constante de integração.

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