integral duplaD 1 / raizx^2+y^2 d A, onde D é a região limitada pelo cardioide r=1+sen theta e fora do círculo r=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é . A região está entre um cardioide dado por e um círculo de raio 1, ou seja, . Vamos usar coordenadas polares para facilitar, já que as equações estão nesse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que estamos integrando: . Em coordenadas polares, e , então . Portanto, a função fica .

Passo 3

Agora, na integral dupla em coordenadas polares, temos integral duplaD 1r cdot r , dr , dtheta = integral duplaD dr , dtheta . Substituindo na integral, ela fica:
Então, a integral simplifica para integrar apenas sobre a região .

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração. O ângulo 0 <= theta <= 2pi varia de 0 a 1 <= r <= 1 + sin theta para cobrir toda a região. Para cada , varia de 1 (círculo) até (cardioide). Então, os limites são:

Passo 5

Agora, montamos a integral iterada com esses limites:
integral0^2pi integral1^1 + sin theta dr , dtheta
Vamos integrar primeiro em .

Passo 6

Integrando em integral1^1 + sin theta dr = [r]1^1 + sin theta = (1 + sin theta) - 1 = sin theta :
integral0^2pi sin theta , dtheta
Agora, a integral ficou:

Passo 7

Agora, vamos integrar integral0^2pi sin theta , dtheta = [-cos theta]0^2pi = (-cos 2pi) - (-cos 0) = (-1) - (-1) = 0 em relação a de 0 a :

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados