, onde é a região limitada pelo cardioide e fora do círculo

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é . A região está entre um cardioide dado por e um círculo de raio 1, ou seja, . Vamos usar coordenadas polares para facilitar, já que as equações estão nesse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que estamos integrando: . Em coordenadas polares, e , então . Portanto, a função fica .

Passo 3

Agora, na integral dupla em coordenadas polares, temos . Substituindo na integral, ela fica:
Então, a integral simplifica para integrar apenas sobre a região .

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração. O ângulo varia de 0 a para cobrir toda a região. Para cada , varia de 1 (círculo) até (cardioide). Então, os limites são:

Passo 5

Agora, montamos a integral iterada com esses limites:
Vamos integrar primeiro em .

Passo 6

Integrando em :
Agora, a integral ficou:

Passo 7

Agora, vamos integrar em relação a de 0 a :

Resposta

O valor da integral é .

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