, onde
é a região limitada pelo cardioide
e fora do círculo
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é
. A região
está entre um cardioide dado por
e um círculo de raio 1, ou seja,
. Vamos usar coordenadas polares para facilitar, já que as equações estão nesse sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que estamos integrando:
. Em coordenadas polares,
e
, então
. Portanto, a função fica
.
Passo 3
Agora, na integral dupla em coordenadas polares, temos
. Substituindo na integral, ela fica:
Então, a integral simplifica para integrar apenas
sobre a região
.
Passo 4
Vamos determinar os limites de integração. O ângulo
varia de 0 a
para cobrir toda a região. Para cada
,
varia de 1 (círculo) até
(cardioide). Então, os limites são:
Passo 5
Agora, montamos a integral iterada com esses limites:
Vamos integrar primeiro em
.
Passo 6
Integrando em
:
Agora, a integral ficou:
Passo 7
Agora, vamos integrar
em relação a
de 0 a
:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
(d) Use
e
na parte (b) para mostrar que
é crescente.
Encontre a integral indefinida
para cada função abaixo. Se necessário, use a técnica da substituição,
Encontre a integral indefinida
para cada função abaixo. Se necessário, use a técnica da substituição,
Encontre a integral indefinida
para cada função abaixo. Se necessário, use a técnica da substituição,